関数 $f(x) = 2(e^x + e^{-x}\cos x) - x^3 - x^2$ の $x=0$ における極大・極小を調べる問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2(e^x + e^{-x}\cos x) - x^3 - x^2$ の $x=0$ における極大・極小を調べる問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 2(e^x - e^{-x}\cos x - e^{-x}\sin x) - 3x^2 - 2x$

(2) 次に、$f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = 2(e^x + e^{-x}\cos x + e^{-x}\sin x + e^{-x}\sin x - e^{-x}\cos x) - 6x - 2$

$= 2(e^x + 2e^{-x}\sin x) - 6x - 2$

(3) $x=0$ における $f'(0)$ と $f''(0)$ を計算します。

$f'(0) = 2(1 - 1 - 0) - 0 - 0 = 0$

$f''(0) = 2(1 + 0) - 0 - 2 = 0$

(4) $f'''(x)$ を求めます。

$f'''(x) = 2(e^x + 2(-e^{-x}\sin x + e^{-x}\cos x)) - 6$

$= 2(e^x - 2e^{-x}\sin x + 2e^{-x}\cos x) - 6$

(5) $f'''(0)$ を計算します。

$f'''(0) = 2(1 - 0 + 2) - 6 = 2(3) - 6 = 0$

(6) $f^{(4)}(x)$ を求めます。

$f^{(4)}(x) = 2(e^x - 2(-e^{-x}\sin x + e^{-x}\cos x) + 2(-e^{-x}\cos x - e^{-x}\sin x))$

$= 2(e^x + 4e^{-x}\sin x - 4e^{-x}\cos x)$

(7) $f^{(4)}(0)$ を計算します。

$f^{(4)}(0) = 2(1 + 0 - 4) = 2(-3) = -6 < 0$

$f'(0) = f''(0) = f'''(0) = 0$ であり、$f^{(4)}(0) < 0$ であることから、$x=0$ において極大値をとります。

3. 最終的な答え

$x=0$ で極大値をとる。