与えられた4つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \sin^4(3x)$ (2) $y = \tan^3(2x)$ (3) $y = e^{x^3} \sin(2x)$ (4) $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数を微分する問題です。

(1) $y = \sin^4(3x)$

(2) $y = \tan^3(2x)$

(3) $y = e^{x^3} \sin(2x)$

(4) $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^4(3x)$ の微分

合成関数の微分法を用いる。$y = u^4$, $u = \sin(3x)$ とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 4u^3 = 4\sin^3(3x)$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin(3x)) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 4\sin^3(3x) \cdot 3\cos(3x) = 12\sin^3(3x)\cos(3x)$

(2) $y = \tan^3(2x)$ の微分

合成関数の微分法を用いる。$y = u^3$, $u = \tan(2x)$ とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2 = 3\tan^2(2x)$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan(2x)) = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot 2 = 2\sec^2(2x)$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 3\tan^2(2x) \cdot 2\sec^2(2x) = 6\tan^2(2x)\sec^2(2x)$

(3) $y = e^{x^3} \sin(2x)$ の微分

積の微分法と合成関数の微分法を用いる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{x^3}) \sin(2x) + e^{x^3} \frac{d}{dx}(\sin(2x))$

$\frac{d}{dx}(e^{x^3}) = e^{x^3} \cdot 3x^2 = 3x^2 e^{x^3}$

$\frac{d}{dx}(\sin(2x)) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 e^{x^3} \sin(2x) + e^{x^3} (2\cos(2x)) = e^{x^3}(3x^2\sin(2x) + 2\cos(2x))$

(4) $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$ の微分

合成関数の微分法を用いる。$y = u^3$, $u = \log(x^2 + 1)$ とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2 = 3\{\log(x^2 + 1)\}^2$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\log(x^2 + 1)) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 3\{\log(x^2 + 1)\}^2 \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{6x\{\log(x^2 + 1)\}^2}{x^2 + 1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 12\sin^3(3x)\cos(3x)$

(2) $\frac{dy}{dx} = 6\tan^2(2x)\sec^2(2x)$

(3) $\frac{dy}{dx} = e^{x^3}(3x^2\sin(2x) + 2\cos(2x))$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{6x\{\log(x^2 + 1)\}^2}{x^2 + 1}$