与えられた関数 $y = \frac{1}{\sqrt{\tan x}}$ の微分 $\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{1}{\sqrt{\tan x}}$ の微分 $\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $\tan x$ のべき乗の形で書き換えます。

$y = \frac{1}{\sqrt{\tan x}} = (\tan x)^{-\frac{1}{2}}$

次に、合成関数の微分公式（チェーンルール）を適用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

ここで、 $u = \tan x$ とおくと、$y = u^{-\frac{1}{2}}$ となります。

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{2} u^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2} (\tan x)^{-\frac{3}{2}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (\tan x) = \sec^2 x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{2} (\tan x)^{-\frac{3}{2}} \cdot \sec^2 x$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sec^2 x}{2 (\tan x)^{\frac{3}{2}}}$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ および $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ であることを用いると、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \frac{1}{(\frac{\sin x}{\cos x})^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \frac{\cos^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^{\frac{3}{2}} x}{\cos^2 x \sin^{\frac{3}{2}} x} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^{\frac{1}{2}} x \sin^{\frac{3}{2}} x}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\cos^{\frac{1}{2}}x \sin^{\frac{3}{2}}x}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sec^2 x}{2 (\tan x)^{\frac{3}{2}}}$ または $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\cos^{\frac{1}{2}}x \sin^{\frac{3}{2}}x}$