関数 $y = x^{\log x}$ ($x > 0$) を微分せよ。ここで、$\log$ は常用対数（底が10の対数）を表すものとする。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{\log x}$ ($x > 0$) を微分せよ。ここで、$\log$ は常用対数（底が10の対数）を表すものとする。

2. 解き方の手順

対数微分法を用いる。まず、両辺の常用対数をとる。

$\log y = \log (x^{\log x})$

対数の性質 $\log a^b = b \log a$ を用いて、

$\log y = (\log x) (\log x) = (\log x)^2$

次に、両辺を $x$ で微分する。左辺は $y$ の関数であるから、合成関数の微分法を用いる。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 (\log x) \cdot \frac{1}{x \ln 10}$

ここで、$\log x$ の微分は $\frac{1}{x \ln 10}$ である（常用対数の微分公式）。$\ln$ は自然対数（底が $e$ の対数）を表す。

$\frac{dy}{dx}$ について解くために、両辺に $y$ を掛ける。

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{2 \log x}{x \ln 10}$

$y = x^{\log x}$ を代入する。

$\frac{dy}{dx} = x^{\log x} \cdot \frac{2 \log x}{x \ln 10}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2 x^{\log x} \log x}{x \ln 10}$