関数 $y = \sin{\sqrt{x^2 + x + 1}}$ の導関数 $dy/dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin{\sqrt{x^2 + x + 1}}$ の導関数 $dy/dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、合成関数の微分（連鎖律）を適用する必要があります。

まず、$u = \sqrt{x^2 + x + 1}$ と置くと、$y = \sin{u}$ となります。

次に、$v = x^2 + x + 1$ と置くと、$u = \sqrt{v} = v^{1/2}$ となります。

連鎖律より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

各項を計算します。

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\sin{u}) = \cos{u}$

$\frac{du}{dv} = \frac{d}{dv}(v^{1/2}) = \frac{1}{2}v^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{v}}$

$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 + x + 1) = 2x + 1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \cos{u} \cdot \frac{1}{2\sqrt{v}} \cdot (2x + 1)$

$u$ と $v$ を元に戻します。

$\frac{dy}{dx} = \cos{(\sqrt{x^2 + x + 1})} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + x + 1}} \cdot (2x + 1)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x + 1)\cos{(\sqrt{x^2 + x + 1})}}{2\sqrt{x^2 + x + 1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x + 1)\cos{(\sqrt{x^2 + x + 1})}}{2\sqrt{x^2 + x + 1}}$