関数 $y = \sin^5{x} \cos{5x}$ を微分して、$y'$ を求める問題です。

はい、承知いたしました。問題の画像を拝見しました。2番の問題 $y = \sin^5{x}\cos{5x}$ を解きます。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^5{x} \cos{5x}$ を微分して、$y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分法と合成関数の微分法を使用します。

積の微分法とは、$y = uv$ のとき $y' = u'v + uv'$ となることです。

合成関数の微分法とは、$y = f(g(x))$ のとき $y' = f'(g(x))g'(x)$ となることです。

まず、$u = \sin^5{x}$ 、$v = \cos{5x}$ とおきます。

$u' = \frac{d}{dx} (\sin^5{x}) = 5\sin^4{x} \cdot \frac{d}{dx} (\sin{x}) = 5\sin^4{x} \cos{x}$

$v' = \frac{d}{dx} (\cos{5x}) = -\sin{5x} \cdot \frac{d}{dx} (5x) = -5\sin{5x}$

積の微分法 $y' = u'v + uv'$ を適用すると、

$y' = (5\sin^4{x} \cos{x}) \cos{5x} + (\sin^5{x}) (-5\sin{5x})$

$y' = 5\sin^4{x} \cos{x} \cos{5x} - 5\sin^5{x} \sin{5x}$

$y' = 5\sin^4{x} (\cos{x} \cos{5x} - \sin{x} \sin{5x})$

ここで、三角関数の加法定理 $\cos{(A+B)} = \cos{A}\cos{B} - \sin{A}\sin{B}$ を用いると、

$\cos{x} \cos{5x} - \sin{x} \sin{5x} = \cos{(x + 5x)} = \cos{6x}$

したがって、

$y' = 5\sin^4{x} \cos{6x}$

3. 最終的な答え

$y' = 5\sin^4{x} \cos{6x}$