与えられた関数を微分する問題です。 (1) $y = \cos^3 x$ (2) $y = \tan^4 x$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

(1) $y = \cos^3 x$

(2) $y = \tan^4 x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \cos^3 x$ の微分

合成関数の微分法を利用します。$u = \cos x$ とおくと、$y = u^3$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = -\sin x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot (-\sin x) = 3(\cos x)^2 \cdot (-\sin x) = -3\cos^2 x \sin x$

(2) $y = \tan^4 x$ の微分

こちらも合成関数の微分法を利用します。$u = \tan x$ とおくと、$y = u^4$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 4u^3$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 4u^3 \cdot \sec^2 x = 4(\tan x)^3 \cdot \sec^2 x = 4\tan^3 x \sec^2 x$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -3\cos^2 x \sin x$

(2) $\frac{dy}{dx} = 4\tan^3 x \sec^2 x$