次の関数を微分せよ。 (1) $y = \sin^4 3x$ (2) $y = \tan^3 2x$ (3) $y = e^{x^3} \sin 2x$ (4) $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $y = \sin^4 3x$

(2) $y = \tan^3 2x$

(3) $y = e^{x^3} \sin 2x$

(4) $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^4 3x$ の微分

$y = (\sin 3x)^4$と考える。

合成関数の微分を用いる。

$y' = 4(\sin 3x)^3 (\sin 3x)' = 4\sin^3 3x \cdot (\cos 3x \cdot (3x)') = 4\sin^3 3x \cdot \cos 3x \cdot 3 = 12\sin^3 3x \cos 3x$

(2) $y = \tan^3 2x$ の微分

$y = (\tan 2x)^3$と考える。

合成関数の微分を用いる。

$y' = 3(\tan 2x)^2 (\tan 2x)' = 3\tan^2 2x \cdot \frac{1}{\cos^2 2x} (2x)' = 3\tan^2 2x \cdot \frac{1}{\cos^2 2x} \cdot 2 = \frac{6\tan^2 2x}{\cos^2 2x}$

(3) $y = e^{x^3} \sin 2x$ の微分

積の微分と合成関数の微分を用いる。

$y' = (e^{x^3})' \sin 2x + e^{x^3} (\sin 2x)'$

$(e^{x^3})' = e^{x^3} (x^3)' = e^{x^3} 3x^2 = 3x^2 e^{x^3}$

$(\sin 2x)' = \cos 2x (2x)' = 2\cos 2x$

$y' = 3x^2 e^{x^3} \sin 2x + e^{x^3} 2\cos 2x = e^{x^3}(3x^2\sin 2x + 2\cos 2x)$

(4) $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$ の微分

合成関数の微分を用いる。

$y' = 3\{\log(x^2+1)\}^2 (\log(x^2+1))' = 3\{\log(x^2+1)\}^2 \frac{1}{x^2+1} (x^2+1)' = 3\{\log(x^2+1)\}^2 \frac{1}{x^2+1} 2x = \frac{6x\{\log(x^2+1)\}^2}{x^2+1}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 12\sin^3 3x \cos 3x$

(2) $y' = \frac{6\tan^2 2x}{\cos^2 2x}$

(3) $y' = e^{x^3}(3x^2\sin 2x + 2\cos 2x)$

(4) $y' = \frac{6x\{\log(x^2+1)\}^2}{x^2+1}$