2つの放物線 $y = -3x^2 + 12x$ (①) と $y = 5x^2 - 12x$ (②) で囲まれた図形をFとする。 (1) 図形Fの面積Sを求める。 (2) 放物線①、②の原点O以外の交点をAとする。直線OAの方程式を求め、直線OAと放物線①で囲まれる図形の面積を$S_1$、直線OAと放物線②で囲まれる図形の面積を$S_2$とするとき、$S_1 : S_2$を求める。 (3) 直線$y = mx$ ($m > $〇)が図形Fの面積を1:8に分けるとき、直線$y = mx$と放物線①で囲まれた図形の面積$S_3$をmを用いて表し、$m$の値を求める。

1. 問題の内容

2つの放物線 $y = -3x^2 + 12x$ (①) と $y = 5x^2 - 12x$ (②) で囲まれた図形をFとする。

(1) 図形Fの面積Sを求める。

(2) 放物線①、②の原点O以外の交点をAとする。直線OAの方程式を求め、直線OAと放物線①で囲まれる図形の面積を$S_1$、直線OAと放物線②で囲まれる図形の面積を$S_2$とするとき、$S_1 : S_2$を求める。

(3) 直線$y = mx$ ($m >$〇)が図形Fの面積を1:8に分けるとき、直線$y = mx$と放物線①で囲まれた図形の面積$S_3$をmを用いて表し、$m$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

2つの放物線の交点を求める。

$-3x^2 + 12x = 5x^2 - 12x$

$8x^2 - 24x = 0$

$8x(x - 3) = 0$

$x = 0, 3$

$x = 0$の時、$y = 0$。

$x = 3$の時、$y = -3(3)^2 + 12(3) = -27 + 36 = 9$

よって交点は(0, 0)と(3, 9)。

図形Fの面積Sは

$S = \int_0^3 (-3x^2 + 12x - (5x^2 - 12x)) dx = \int_0^3 (-8x^2 + 24x) dx$

$S = [-\frac{8}{3}x^3 + 12x^2]_0^3 = -\frac{8}{3}(3)^3 + 12(3)^2 = -\frac{8}{3}(27) + 12(9) = -72 + 108 = 36$

(2)

原点Oと点A(3, 9)を通る直線OAの方程式は

$y = \frac{9}{3}x = 3x$

$S_1 = \int_0^3 (-3x^2 + 12x - 3x) dx = \int_0^3 (-3x^2 + 9x) dx$

$S_1 = [-x^3 + \frac{9}{2}x^2]_0^3 = -(3)^3 + \frac{9}{2}(3)^2 = -27 + \frac{81}{2} = \frac{27}{2}$

$S_2 = \int_0^3 (3x - (5x^2 - 12x)) dx = \int_0^3 (-5x^2 + 15x) dx$

$S_2 = [-\frac{5}{3}x^3 + \frac{15}{2}x^2]_0^3 = -\frac{5}{3}(3)^3 + \frac{15}{2}(3)^2 = -\frac{5}{3}(27) + \frac{15}{2}(9) = -45 + \frac{135}{2} = \frac{45}{2}$

$S_1 : S_2 = \frac{27}{2} : \frac{45}{2} = 27 : 45 = 3 : 5$

(3)

図形Fの面積Sは36であり、直線$y = mx$が図形Fの面積を1:8に分けるので、$y = mx$と放物線①で囲まれた図形の面積$S_3$は

$S_3 = \frac{1}{9}S = \frac{1}{9}(36) = 4$

$-3x^2 + 12x = mx$

$-3x^2 + (12 - m)x = 0$

$-x(3x - (12 - m)) = 0$

$x = 0, x = \frac{12 - m}{3}$

$S_3 = \int_0^{\frac{12 - m}{3}} (-3x^2 + (12 - m)x - mx) dx = \int_0^{\frac{12 - m}{3}} (-3x^2 + (12 - m)x) dx$

$S_3 = [-x^3 + \frac{12 - m}{2}x^2]_0^{\frac{12 - m}{3}} = -(\frac{12 - m}{3})^3 + \frac{12 - m}{2}(\frac{12 - m}{3})^2$

$S_3 = -(\frac{12 - m}{3})^3 + \frac{1}{2}(\frac{12 - m}{3})^3 = -\frac{1}{2}(\frac{12 - m}{3})^3$

$S_3 = \frac{1}{2}(\frac{12 - m}{3})^3$

$4 = \frac{1}{2}(\frac{12 - m}{3})^3$

$8 = (\frac{12 - m}{3})^3$

$2 = \frac{12 - m}{3}$

$6 = 12 - m$

$m = 6$

3. 最終的な答え

(1) 36

(2) $3 : 5$

(3) $S_3 = \frac{(12-m)^3}{54}$

$m = 6$