関数 $f(x) = \exp(\sin x)$ の $x=0$ における2次の漸近展開を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \exp(\sin x)$ の $x=0$ における2次の漸近展開を求める問題です。

2. 解き方の手順

$f(x)$の $x=0$ におけるテイラー展開を求めます。2次の漸近展開なので、2次の項まで求めます。

まず、$f(x)$の微分を計算します。

$f(x) = e^{\sin x}$ なので、

$f'(x) = \cos x \cdot e^{\sin x}$

$f''(x) = -\sin x \cdot e^{\sin x} + (\cos x)^2 \cdot e^{\sin x}$

次に、$x=0$ における $f(x)$, $f'(x)$, $f''(x)$ の値を計算します。

$f(0) = e^{\sin 0} = e^0 = 1$

$f'(0) = \cos 0 \cdot e^{\sin 0} = 1 \cdot e^0 = 1$

$f''(0) = -\sin 0 \cdot e^{\sin 0} + (\cos 0)^2 \cdot e^{\sin 0} = 0 \cdot e^0 + 1^2 \cdot e^0 = 1$

$f(x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開は、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + O(x^3)$

したがって、

$f(x) = 1 + 1 \cdot x + \frac{1}{2}x^2 + O(x^3)$

よって、$f(x)$の $x=0$ における2次の漸近展開は $1 + x + \frac{1}{2}x^2$ となります。

3. 最終的な答え

$1 + x + \frac{1}{2}x^2$