自然対数の底 $e$ の定義 $e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$ を利用して、以下の2つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n$ (2) $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^n$

1. 問題の内容

自然対数の底 $e$ の定義 $e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$ を利用して、以下の2つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n$

(2) $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^n$

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n$ を求めます。

$m = -n$ と置くと、$n \to \infty$ のとき $m \to -\infty$ となります。

しかし、$m \to -\infty$は、$|m| \to \infty$と同じ意味です。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n = \lim_{m \to -\infty} (1 + \frac{1}{m})^{-m} = \lim_{m \to -\infty} \left[ (1 + \frac{1}{m})^{m} \right]^{-1}$

ここで、$m \to -\infty$ のとき $m \to \infty$ と同じように扱えるので、

$\lim_{m \to -\infty} (1 + \frac{1}{m})^m = \lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^m = e$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n = e^{-1} = \frac{1}{e}$

(2)

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^n$ を求めます。

$m = \frac{n}{2}$ と置くと、$n = 2m$ となり、$n \to \infty$ のとき $m \to \infty$ となります。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^n = \lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^{2m} = \lim_{m \to \infty} \left[ (1 + \frac{1}{m})^{m} \right]^2$

$\lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^m = e$ であるから、

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^n = e^2$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n = \frac{1}{e}$

(2) $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^n = e^2$