与えられた6つの関数を微分する問題です。 (1) $y = (x-1)^2$ (2) $y = (3x-1)^3$ (3) $y = (2x-1)(x-2)^2$ (4) $y = (x^2+2x+3)^2$ (5) $y = \frac{1}{(2x+3)^2}$ (6) $y = (\frac{x}{x-1})^3$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数を微分する問題です。

(1) $y = (x-1)^2$

(2) $y = (3x-1)^3$

(3) $y = (2x-1)(x-2)^2$

(4) $y = (x^2+2x+3)^2$

(5) $y = \frac{1}{(2x+3)^2}$

(6) $y = (\frac{x}{x-1})^3$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x-1)^2$ の微分

合成関数の微分法を用いる。$u = x-1$ とおくと、$y = u^2$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot 1 = 2(x-1) = 2x-2$

(2) $y = (3x-1)^3$ の微分

合成関数の微分法を用いる。$u = 3x-1$ とおくと、$y = u^3$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot 3 = 9(3x-1)^2$

(3) $y = (2x-1)(x-2)^2$ の微分

積の微分法を用いる。

$\frac{dy}{dx} = (2x-1)'(x-2)^2 + (2x-1)((x-2)^2)'$

$= 2(x-2)^2 + (2x-1) \cdot 2(x-2) \cdot 1$

$= 2(x-2)^2 + 2(2x-1)(x-2)$

$= 2(x-2)[(x-2) + (2x-1)] = 2(x-2)(3x-3) = 6(x-2)(x-1)$

(4) $y = (x^2+2x+3)^2$ の微分

合成関数の微分法を用いる。$u = x^2+2x+3$ とおくと、$y = u^2$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot (2x+2) = 2(x^2+2x+3)(2x+2) = 4(x+1)(x^2+2x+3)$

(5) $y = \frac{1}{(2x+3)^2}$ の微分

$y = (2x+3)^{-2}$ と変形し、合成関数の微分法を用いる。$u = 2x+3$ とおくと、$y = u^{-2}$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -2u^{-3} \cdot 2 = -4(2x+3)^{-3} = -\frac{4}{(2x+3)^3}$

(6) $y = (\frac{x}{x-1})^3$ の微分

合成関数の微分法と商の微分法を用いる。$u = \frac{x}{x-1}$ とおくと、$y = u^3$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot \frac{(x)'(x-1) - x(x-1)'}{(x-1)^2}$

$= 3(\frac{x}{x-1})^2 \cdot \frac{1(x-1) - x(1)}{(x-1)^2} = 3(\frac{x}{x-1})^2 \cdot \frac{x-1 - x}{(x-1)^2}$

$= 3\frac{x^2}{(x-1)^2} \cdot \frac{-1}{(x-1)^2} = -\frac{3x^2}{(x-1)^4}$

3. 最終的な答え

(1) $2x-2$

(2) $9(3x-1)^2$

(3) $6(x-2)(x-1)$

(4) $4(x+1)(x^2+2x+3)$

(5) $-\frac{4}{(2x+3)^3}$

(6) $-\frac{3x^2}{(x-1)^4}$