与えられた文章は、関数 $f$ の変化量 $\Delta f$ が $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$ で定義され、導関数が入力の変化量に対する関数の変化量の比 $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ の $\Delta x$ を 0 に近づけたときの極限値として定義されることを説明しています。そして、この導関数の値は $x$ ごとに変化するため、$x$ の関数であることを述べています。

1. 問題の内容

与えられた文章は、関数 $f$ の変化量 $\Delta f$ が $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$ で定義され、導関数が入力の変化量に対する関数の変化量の比 $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ の $\Delta x$ を 0 に近づけたときの極限値として定義されることを説明しています。そして、この導関数の値は $x$ ごとに変化するため、$x$ の関数であることを述べています。

2. 解き方の手順

この問題は、数式を解くというよりも、与えられた定義と説明を理解することが重要です。導関数は、ある点における関数の瞬間の変化率を表しており、その定義は極限を用いて表されます。

導関数の定義は以下の通りです。

$\qquad \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

この極限が存在する場合、この値を $f'(x)$ または $\frac{df}{dx}$ と書き、関数 $f(x)$ の $x$ における導関数と呼びます。この導関数は、一般に $x$ の関数となります。

3. 最終的な答え

最終的な答えは、問題文に記載されている導関数の定義と説明の理解です。

$\qquad \displaystyle f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

この $f'(x)$ が、$x$ ごとに変化する $x$ の関数であるということです。