$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{7}{6}\pi$ の範囲で、関数 $y = 2\cos\theta + 2$ の最大値と最小値を求める問題です。$\theta$ がいくつのときに最大値、最小値をとるのか、選択肢の中から選びます。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{7}{6}\pi$ の範囲で、関数 $y = 2\cos\theta + 2$ の最大値と最小値を求める問題です。$\theta$ がいくつのときに最大値、最小値をとるのか、選択肢の中から選びます。

2. 解き方の手順

$y = 2\cos\theta + 2$ の最大値と最小値を考えます。

$\cos\theta$ の値域は $-1 \le \cos\theta \le 1$ です。

したがって、$2\cos\theta$ の値域は $-2 \le 2\cos\theta \le 2$ です。

$2\cos\theta + 2$ の値域は $0 \le 2\cos\theta + 2 \le 4$ です。

つまり、$y$ の最大値は 4, 最小値は 0 となります。

次に、$\theta$ の範囲 $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{7}{6}\pi$ で $y$ が最大値 4, 最小値 0 をとるときの $\theta$ を求めます。

$y = 4$ となるとき、$2\cos\theta + 2 = 4$ より $\cos\theta = 1$

$\cos\theta = 1$ となるのは $\theta = 0, 2\pi, ...$ のときですが、$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{7}{6}\pi$ の範囲には該当するものはありません。

しかし、$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ なので、$2\cos \frac{\pi}{3} + 2 = 2\times \frac{1}{2} + 2 = 3$。

$\theta = \frac{\pi}{3}$ で最大値 3 をとります。

$y = 0$ となるとき、$2\cos\theta + 2 = 0$ より $\cos\theta = -1$

$\cos\theta = -1$ となるのは $\theta = \pi$ のときです。

$\frac{\pi}{3} \le \pi \le \frac{7}{6}\pi$ を満たすので、$\theta = \pi$ で最小値 0 をとります。

したがって、$\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき、最大値 3

$\theta = \pi$ のとき、最小値 0 をとります。

3. 最終的な答え

エ：6

オ：4

カ：8

キ：0