$\sqrt{x}$ の導関数を定義に従って計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{x}$ の導関数を定義に従って計算する問題です。

2. 解き方の手順

導関数の定義は次の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

ここで $f(x) = \sqrt{x}$ なので、これを代入します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}$

このままでは不定形 $\frac{0}{0}$ になってしまうので、分子を有理化します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}$

$h$ を約分します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$

$h \to 0$ の極限を取ります。

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x+0} + \sqrt{x}}$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}}$

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2\sqrt{x}}$