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与えられた級数 $S$ の和を求める問題です。級数は次のようになっています。 $S = 1 + 4x + 7x^2 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$

解析学級数無限級数等比数列
2025/6/7

1. 問題の内容

与えられた級数 SS の和を求める問題です。級数は次のようになっています。
S=1+4x+7x2+⋯+(3n−2)xn−1S = 1 + 4x + 7x^2 + \dots + (3n-2)x^{n-1}

2. 解き方の手順

級数 SS を求めるために、以下の手順で計算します。
まず、SS を xx 倍したものを考えます。
xS=x+4x2+7x3+⋯+(3n−2)xnxS = x + 4x^2 + 7x^3 + \dots + (3n-2)x^n
次に、SS から xSxS を引きます。
S−xS=(1+4x+7x2+⋯+(3n−2)xn−1)−(x+4x2+7x3+⋯+(3n−2)xn)S - xS = (1 + 4x + 7x^2 + \dots + (3n-2)x^{n-1}) - (x + 4x^2 + 7x^3 + \dots + (3n-2)x^n)
(1−x)S=1+3x+3x2+3x3+⋯+3xn−1−(3n−2)xn(1-x)S = 1 + 3x + 3x^2 + 3x^3 + \dots + 3x^{n-1} - (3n-2)x^n
3x+3x2+⋯+3xn−13x + 3x^2 + \dots + 3x^{n-1} の部分は等比数列の和なので、これを計算します。
3x+3x2+⋯+3xn−1=3x1−xn−11−x3x + 3x^2 + \dots + 3x^{n-1} = 3x\frac{1-x^{n-1}}{1-x}
したがって、
(1−x)S=1+3x1−xn−11−x−(3n−2)xn(1-x)S = 1 + 3x\frac{1-x^{n-1}}{1-x} - (3n-2)x^n
(1−x)S=1+3x−3xn1−x−(3n−2)xn(1-x)S = 1 + \frac{3x - 3x^n}{1-x} - (3n-2)x^n
(1−x)2S=(1−x)+(3x−3xn)−(3n−2)xn(1−x)(1-x)^2 S = (1-x) + (3x - 3x^n) - (3n-2)x^n(1-x)
(1−x)2S=1−x+3x−3xn−(3n−2)xn+(3n−2)xn+1(1-x)^2 S = 1-x + 3x - 3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}
(1−x)2S=1+2x−3xn−(3n−2)xn+(3n−2)xn+1(1-x)^2 S = 1 + 2x - 3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}
(1−x)2S=1+2x−(3n+1)xn+(3n−2)xn+1(1-x)^2 S = 1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}
S=1+2x−(3n+1)xn+(3n−2)xn+1(1−x)2S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}

3. 最終的な答え

S=1+2x−(3n+1)xn+(3n−2)xn+1(1−x)2S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}

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