与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}}$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}}$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化することを考えます。

$\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}}$ に $\frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}$ をかけると、

$\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+2} + \sqrt{k})(\sqrt{k+2} - \sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{(k+2) - k} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{2}$

したがって、与えられた和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k}}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+2} - \sqrt{k})$

この和はtelescoping sum(隣り合う項で打ち消し合う和)であるため、次のように計算できます。

$\frac{1}{2} [(\sqrt{3}-\sqrt{1})+(\sqrt{4}-\sqrt{2})+(\sqrt{5}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1})+(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})]$

$= \frac{1}{2} [-\sqrt{1} - \sqrt{2} + \sqrt{n+1} + \sqrt{n+2}]$

$= \frac{1}{2} [\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} - 1 - \sqrt{2}]$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} - 1 - \sqrt{2}}{2}$