問題は、$\lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e$ を用いて、 $(e^x)'$ と $(\log x)'$ を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、$\lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e$ を用いて、 $(e^x)'$ と $(\log x)'$ を求めることです。

2. 解き方の手順

(1) $(e^x)'$ を求める。

$y = e^x$ とおく。両辺の自然対数をとると、

$\log y = \log(e^x) = x$

両辺を $x$ で微分する。左辺は $y$ の関数なので、合成関数の微分法を使う。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1$

$\frac{dy}{dx} = y$

$y = e^x$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = e^x$

したがって、 $(e^x)' = e^x$

(2) $(\log x)'$ を求める。

$y = \log x$ とおく。指数関数にすると、

$e^y = x$

両辺を $x$ で微分する。左辺は $y$ の関数なので、合成関数の微分法を使う。

$e^y \frac{dy}{dx} = 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y}$

$e^y = x$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$

したがって、 $(\log x)' = \frac{1}{x}$

3. 最終的な答え

$(e^x)' = e^x$

$(\log x)' = \frac{1}{x}$