関数 $f(x) = 3x^2 - 4x + \int_0^3 f(t) dt$ が与えられている。$a = \int_0^3 f(t) dt$ とおいて、$f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 3x^2 - 4x + \int_0^3 f(t) dt$ が与えられている。$a = \int_0^3 f(t) dt$ とおいて、$f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a = \int_0^3 f(t) dt$ とおく。すると、$f(x) = 3x^2 - 4x + a$ となる。

次に、この $f(x)$ を $a$ の定義式に代入する。

$$a = \int_0^3 (3t^2 - 4t + a) dt$$

積分を実行する。

$$a = [t^3 - 2t^2 + at]_0^3$$

$$a = (3^3 - 2(3^2) + 3a) - (0^3 - 2(0^2) + a(0))$$

$$a = 27 - 18 + 3a$$

$$a = 9 + 3a$$

$$a - 3a = 9$$

$$-2a = 9$$

$$a = -\frac{9}{2}$$

最後に、$f(x)$ に $a$ の値を代入する。

$$f(x) = 3x^2 - 4x - \frac{9}{2}$$

3. 最終的な答え

$f(x) = 3x^2 - 4x - \frac{9}{2}$