関数 $f(x) = \sqrt{x}$ について、平均値の定理の式 $f(1+h) - f(1) = hf'(1+\theta h)$ を満たす $\theta$ を $h$ の式で表します。ただし、$h > 0$ かつ $0 < \theta < 1$です。

はい、承知いたしました。画像にある二つの問題のうち、二番目の問題を解きます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{x}$ について、平均値の定理の式 $f(1+h) - f(1) = hf'(1+\theta h)$ を満たす $\theta$ を $h$ の式で表します。ただし、$h > 0$ かつ $0 < \theta < 1$です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \sqrt{x}$ の導関数を求めます。

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

次に、与えられた式に $f(x)$ と $f'(x)$ を代入します。

$\sqrt{1+h} - \sqrt{1} = h \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+\theta h}}$

整理すると、

$\sqrt{1+h} - 1 = \frac{h}{2\sqrt{1+\theta h}}$

両辺を2乗します。

$(\sqrt{1+h} - 1)^2 = \frac{h^2}{4(1+\theta h)}$

$(1+h) - 2\sqrt{1+h} + 1 = \frac{h^2}{4(1+\theta h)}$

$2+h - 2\sqrt{1+h} = \frac{h^2}{4(1+\theta h)}$

さらに整理します。

$2\sqrt{1+\theta h} (\sqrt{1+h} - 1) = h$

$\sqrt{1+h}-1=\frac{h}{2\sqrt{1+\theta h}}$

$\sqrt{1+h} = 1 + \frac{h}{2\sqrt{1+\theta h}}$

両辺を2乗します。

$1+h = 1 + \frac{h}{\sqrt{1+\theta h}} + \frac{h^2}{4(1+\theta h)}$

$h = \frac{h}{\sqrt{1+\theta h}} + \frac{h^2}{4(1+\theta h)}$

$h>0$より、$h$で両辺を割って

$1 = \frac{1}{\sqrt{1+\theta h}} + \frac{h}{4(1+\theta h)}$

$1 - \frac{1}{\sqrt{1+\theta h}} = \frac{h}{4(1+\theta h)}$

$\frac{\sqrt{1+\theta h}-1}{\sqrt{1+\theta h}} = \frac{h}{4(1+\theta h)}$

$\frac{\sqrt{1+\theta h}-1}{h} = \frac{1}{4\sqrt{1+\theta h}}$

$(\sqrt{1+\theta h}-1)(\sqrt{1+\theta h}+1)=\theta h$であるので、左辺の分子は$\theta h$となる。

$\frac{\theta h}{\sqrt{1+\theta h}+1}=\frac{h}{4\sqrt{1+\theta h}}$

$\theta = \frac{\sqrt{1+\theta h}+1}{4\sqrt{1+\theta h}}$

$4\theta\sqrt{1+\theta h}=\sqrt{1+\theta h}+1$

$(4\theta - 1)\sqrt{1+\theta h}=1$

$\sqrt{1+\theta h}=\frac{1}{4\theta-1}$

$1+\theta h=\frac{1}{(4\theta-1)^2}$

$\theta h=\frac{1}{(4\theta-1)^2}-1$

$\theta h=\frac{1-(4\theta-1)^2}{(4\theta-1)^2}$

$\theta h=\frac{1-(16\theta^2-8\theta+1)}{(4\theta-1)^2}$

$\theta h=\frac{-16\theta^2+8\theta}{(4\theta-1)^2}$

$h=\frac{-16\theta^2+8\theta}{\theta(4\theta-1)^2}=\frac{-16\theta+8}{(4\theta-1)^2}$

$h(4\theta-1)^2=-16\theta+8$

$h(16\theta^2-8\theta+1)=-16\theta+8$

$16h\theta^2-8h\theta+h+16\theta-8=0$

$16h\theta^2+(-8h+16)\theta+(h-8)=0$

解の公式より

$\theta=\frac{-(16-8h) \pm \sqrt{(16-8h)^2-4*16h(h-8)}}{32h}$

$\theta=\frac{-(16-8h) \pm \sqrt{256-256h+64h^2-64h^2+512h}}{32h}$

$\theta=\frac{-(16-8h) \pm \sqrt{256+256h}}{32h}$

$\theta=\frac{-16+8h \pm \sqrt{256(1+h)}}{32h}$

$\theta=\frac{-16+8h \pm 16\sqrt{1+h}}{32h}$

$\theta=\frac{-2+h \pm 2\sqrt{1+h}}{4h}$

$\sqrt{1+h} - 1 = \frac{h}{2\sqrt{1+\theta h}}$を変形すると、

$\theta=\frac{1}{h} + \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{1+h}}{2h}$

$\theta = \frac{-2+h+2\sqrt{1+h}}{4h}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{-2+h+2\sqrt{1+h}}{4h}$