与えられた4つの関数を微分する問題です。 (1) $y = x^{\sin x}$ $(x>0)$ (2) $y = x^{e^x}$ $(x>0)$ (3) $y = x^{\log x}$ $(x>0)$ (4) $y = (\log x)^x$ $(x>1)$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数を微分する問題です。

(1) $y = x^{\sin x}$ $(x>0)$

(2) $y = x^{e^x}$ $(x>0)$

(3) $y = x^{\log x}$ $(x>0)$

(4) $y = (\log x)^x$ $(x>1)$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^{\sin x}$ の微分

両辺の対数をとると、

$\log y = \sin x \log x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \log x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y (\cos x \log x + \frac{\sin x}{x})$

$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} (\cos x \log x + \frac{\sin x}{x})$

(2) $y = x^{e^x}$ の微分

両辺の対数をとると、

$\log y = e^x \log x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^x \log x + e^x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y (e^x \log x + \frac{e^x}{x})$

$\frac{dy}{dx} = x^{e^x} (e^x \log x + \frac{e^x}{x}) = x^{e^x} e^x (\log x + \frac{1}{x})$

(3) $y = x^{\log x}$ の微分

両辺の対数をとると、

$\log y = \log x \log x = (\log x)^2$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 \log x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{2 \log x}{x}$

$\frac{dy}{dx} = x^{\log x} \cdot \frac{2 \log x}{x}$

(4) $y = (\log x)^x$ の微分

両辺の対数をとると、

$\log y = x \log (\log x)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log (\log x) + x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y (\log (\log x) + \frac{1}{\log x})$

$\frac{dy}{dx} = (\log x)^x (\log (\log x) + \frac{1}{\log x})$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} (\cos x \log x + \frac{\sin x}{x})$

(2) $\frac{dy}{dx} = x^{e^x} e^x (\log x + \frac{1}{x})$

(3) $\frac{dy}{dx} = x^{\log x} \cdot \frac{2 \log x}{x}$

(4) $\frac{dy}{dx} = (\log x)^x (\log (\log x) + \frac{1}{\log x})$