与えられた関数を微分する問題です。具体的には以下の6つの関数について、それぞれ導関数を求めます。 (1) $y = (x-1)^2$ (2) $y = (3x-1)^3$ (3) $y = (2x-1)(x-2)^2$ (4) $y = (x^2+2x+3)^2$ (5) $y = \frac{1}{(2x+3)^2}$ (6) $y = (\frac{x}{x-1})^3$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には以下の6つの関数について、それぞれ導関数を求めます。

(1) $y = (x-1)^2$

(2) $y = (3x-1)^3$

(3) $y = (2x-1)(x-2)^2$

(4) $y = (x^2+2x+3)^2$

(5) $y = \frac{1}{(2x+3)^2}$

(6) $y = (\frac{x}{x-1})^3$

2. 解き方の手順

各関数ごとに微分を行います。

(1) $y = (x-1)^2$

合成関数の微分公式を用いる。$u = x-1$とすると、$y = u^2$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 2u$, $\frac{du}{dx} = 1$

$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot 1 = 2(x-1) = 2x - 2$

(2) $y = (3x-1)^3$

合成関数の微分公式を用いる。$u = 3x-1$とすると、$y = u^3$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2$, $\frac{du}{dx} = 3$

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot 3 = 9(3x-1)^2 = 9(9x^2 - 6x + 1) = 81x^2 - 54x + 9$

(3) $y = (2x-1)(x-2)^2$

積の微分公式と合成関数の微分公式を用いる。

$u = 2x-1$, $v = (x-2)^2$とすると、$y = uv$。

$\frac{dy}{dx} = u'\cdot v + u \cdot v'$

$u' = 2$

$v = (x-2)^2$, $w=x-2$とすると、$v = w^2$。$\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dw} \cdot \frac{dw}{dx} = 2w \cdot 1 = 2(x-2)$

$\frac{dy}{dx} = 2(x-2)^2 + (2x-1)(2(x-2)) = 2(x^2 - 4x + 4) + (2x-1)(2x-4) = 2x^2 - 8x + 8 + 4x^2 - 8x - 2x + 4 = 6x^2 - 18x + 12$

(4) $y = (x^2+2x+3)^2$

合成関数の微分公式を用いる。$u = x^2+2x+3$とすると、$y = u^2$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 2u$, $\frac{du}{dx} = 2x+2$

$\frac{dy}{dx} = 2(x^2+2x+3)(2x+2) = 2(2x^3 + 4x^2 + 6x + 2x^2 + 4x + 6) = 4x^3 + 12x^2 + 20x + 12$

(5) $y = \frac{1}{(2x+3)^2} = (2x+3)^{-2}$

合成関数の微分公式を用いる。$u = 2x+3$とすると、$y = u^{-2}$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -2u^{-3}$, $\frac{du}{dx} = 2$

$\frac{dy}{dx} = -2(2x+3)^{-3} \cdot 2 = -4(2x+3)^{-3} = \frac{-4}{(2x+3)^3}$

(6) $y = (\frac{x}{x-1})^3$

合成関数の微分公式と商の微分公式を用いる。$u = \frac{x}{x-1}$とすると、$y = u^3$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = \frac{1 \cdot (x-1) - x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1 - x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = 3(\frac{x}{x-1})^2 \cdot \frac{-1}{(x-1)^2} = \frac{-3x^2}{(x-1)^4}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 2x - 2$

(2) $y' = 81x^2 - 54x + 9$

(3) $y' = 6x^2 - 18x + 12$

(4) $y' = 4x^3 + 12x^2 + 20x + 12$

(5) $y' = \frac{-4}{(2x+3)^3}$

(6) $y' = \frac{-3x^2}{(x-1)^4}$