関数 $f(x) = (3x^2 - 6x + 10)^{2/3}$ の導関数 $f'(x)$ と、微分係数 $f'(1)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (3x^2 - 6x + 10)^{2/3}$ の導関数 $f'(x)$ と、微分係数 $f'(1)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、導関数 $f'(x)$ を求めます。合成関数の微分法を使うと、

$f'(x) = \frac{2}{3}(3x^2 - 6x + 10)^{\frac{2}{3} - 1} \cdot (6x - 6)$

$f'(x) = \frac{2}{3}(3x^2 - 6x + 10)^{-\frac{1}{3}} \cdot (6x - 6)$

$f'(x) = \frac{2(6x - 6)}{3(3x^2 - 6x + 10)^{\frac{1}{3}}}$

$f'(x) = \frac{4(x - 1)}{(3x^2 - 6x + 10)^{\frac{1}{3}}}$

次に、$f'(1)$ を求めます。$f'(x)$ に $x = 1$ を代入すると、

$f'(1) = \frac{4(1 - 1)}{(3(1)^2 - 6(1) + 10)^{\frac{1}{3}}}$

$f'(1) = \frac{4(0)}{(3 - 6 + 10)^{\frac{1}{3}}}$

$f'(1) = \frac{0}{(7)^{\frac{1}{3}}}$

$f'(1) = 0$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{4(x - 1)}{(3x^2 - 6x + 10)^{\frac{1}{3}}}$

$f'(1) = 0$