与えられた和 $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k^2 + 3k + 2}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた和 $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k^2 + 3k + 2}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$k^2 + 3k + 2 = (k+1)(k+2)$

したがって、

$\frac{1}{k^2 + 3k + 2} = \frac{1}{(k+1)(k+2)}$

ここで、部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{A}{k+1} + \frac{B}{k+2}$

両辺に $(k+1)(k+2)$ をかけると、

$1 = A(k+2) + B(k+1)$

$k = -1$ を代入すると、$1 = A(-1+2) + B(-1+1) = A(1) + B(0)$ より $A = 1$

$k = -2$ を代入すると、$1 = A(-2+2) + B(-2+1) = A(0) + B(-1)$ より $B = -1$

したがって、

$\frac{1}{k^2 + 3k + 2} = \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}$

与えられた和は、

$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k^2 + 3k + 2} = \sum_{k=1}^{10} \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} \right)$

これは、階差の形になっているため、

$\sum_{k=1}^{10} \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} \right) = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{11} - \frac{1}{12}\right)$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{12}$

$= \frac{6}{12} - \frac{1}{12}$

$= \frac{5}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{12}$