与えられた数列の和を求める問題です。 数列は$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$で表されます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。

数列は$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$で表されます。

2. 解き方の手順

まず、数列の各項を有利化します。

$\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$の分母と分子に$\sqrt{k+1} - \sqrt{k}$をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})}$

$= \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{k+1 - k}$

$= \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$

したがって、数列の和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$

これは、差の形になっているため、telescoping sum（望遠鏡和）になります。

具体的に書き下すと、

$(\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + ... + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$

となり、多くの項が打ち消しあって、最初の項と最後の項だけが残ります。

$\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) = \sqrt{n+1} - \sqrt{1}$

$= \sqrt{n+1} - 1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{n+1} - 1$