図2は関数 $y = 2\sin{x} + 2\cos{x}$ のグラフである。図2における $a$ の値を求め、さらに式 $2\sin{x} + 2\cos{x}$ を合成したときの $b$ と $c$ の値を求める。また、関数 $y = -2\sin{x} - 2\cos{x}$ を合成した式を選ぶ。

1. 問題の内容

図2は関数 $y = 2\sin{x} + 2\cos{x}$ のグラフである。図2における $a$ の値を求め、さらに式 $2\sin{x} + 2\cos{x}$ を合成したときの $b$ と $c$ の値を求める。また、関数 $y = -2\sin{x} - 2\cos{x}$ を合成した式を選ぶ。

2. 解き方の手順

まず、$y = 2\sin{x} + 2\cos{x}$ のグラフから $a$ の値を求める。グラフを見ると、$x=0$ のとき $y=2$ であるので、$a=2$ とわかる。

次に、$2\sin{x} + 2\cos{x}$ を合成する。

$2\sin{x} + 2\cos{x} = \sqrt{2^2 + 2^2}\sin(x + \alpha) = \sqrt{8}\sin(x + \alpha) = 2\sqrt{2}\sin(x + \alpha)$

ここで、$\cos{\alpha} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin{\alpha} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となるので、$\alpha = \frac{\pi}{4}$ である。

よって、$2\sin{x} + 2\cos{x} = 2\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$ となる。

グラフを見ると、$b$ は合成後の関数の振幅なので、$b = 2\sqrt{2}$。$c$ は $x + \frac{\pi}{4} = 0$ となる $x$ の値の絶対値なので、$c = \frac{\pi}{4}$ となる。

次に、$y = -2\sin{x} - 2\cos{x}$ を合成する。

$-2\sin{x} - 2\cos{x} = - (2\sin{x} + 2\cos{x}) = -2\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$

ここで、$-\sin{\theta} = \sin{(\theta + \pi)}$ を用いると、

$-2\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 2\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4} + \pi) = 2\sqrt{2}\sin(x + \frac{5\pi}{4})$

また、

$-2\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -2\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -2\sqrt{2}\sin(x - (-\frac{\pi}{4}))$。

$y = -2\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$ を選択肢にある形に直す。

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin(x + \frac{\pi}{4} - \pi + \pi) = \sin(x - \frac{3\pi}{4} + \pi) = -\sin(x - \frac{3\pi}{4})$.

したがって、$-2\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 2\sqrt{2}\sin(x - \frac{3\pi}{4})$.

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 2\sqrt{2}$, $c = \frac{\pi}{4}$

$y = 2\sqrt{2}\sin(x - \frac{3\pi}{4})$