関数 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x + 7$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ の増減を調べ、極値を求め、極値をとるときの $x$ の値を求めます。 (2) $k$ を定数とするとき、$x$ の3次方程式 $f(x) = k$ が異なる3つの正の実数解をもつような $k$ のとり得る値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x + 7$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f(x)$ の増減を調べ、極値を求め、極値をとるときの $x$ の値を求めます。

(2) $k$ を定数とするとき、$x$ の3次方程式 $f(x) = k$ が異なる3つの正の実数解をもつような $k$ のとり得る値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の増減と極値を求める手順

* $f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求めます。

* $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。これが極値の候補となる $x$ の値です。

* $f'(x)$ の符号の変化を調べ、増減表を作成します。

* 増減表から極大値、極小値を特定し、それぞれの極値をとる $x$ の値を求めます。

(2) $f(x) = k$ が異なる3つの正の実数解をもつ $k$ の範囲を求める手順

* $y = f(x)$ のグラフを描きます。（または、増減表からグラフの概形を把握します）

* $y = k$ のグラフ（$x$軸に平行な直線）を描きます。

* $y = f(x)$ のグラフと $y = k$ のグラフが異なる3つの正の $x$ 座標で交わるような $k$ の範囲を求めます。これは、極大値と極小値の間で $k$ が変化する場合に起こります。ただし、3つの解が全て正となるように $k$ の範囲を絞る必要があります。

(1) の計算

$f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x + 7$

$f'(x) = 3x^2 - 18x + 15$

$f'(x) = 3(x^2 - 6x + 5)$

$f'(x) = 3(x - 1)(x - 5)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1, 5$ のときです。

$x < 1$ のとき $f'(x) > 0$

$1 < x < 5$ のとき $f'(x) < 0$

$x > 5$ のとき $f'(x) > 0$

したがって、$x = 1$ で極大値、 $x = 5$ で極小値をとります。

$f(1) = 1 - 9 + 15 + 7 = 14$

$f(5) = 125 - 225 + 75 + 7 = -18$

(2) の計算

$f(x) = k$ が異なる3つの正の実数解を持つためには、

$f(0) = 7$ であることと、$f(1)=14$ が極大値、$f(5)=-18$が極小値であることから、$k$は $7 < k < 14$を満たす必要があります。

3. 最終的な答え

(1)

$x=1$のとき極大値$14$

$x=5$のとき極小値$-18$

(2)

$7 < k < 14$