放物線 $C_1: y=2x^2$ 上の点 $A(1,2)$ における接線 $l$ について、その傾きと方程式を求めます。次に、放物線 $C_2: y = -x^2 + ax - b$ が接線 $l$ と点 $A$ で接する条件から $a$ と $b$ の値を求めます。最後に、$l$ と $C_2$ および2直線 $x=t, x=2t+1$ で囲まれた2つの図形の面積の和 $S(t)$ を求め、$S(t)$ が最小となる $t$ の値を求めます。

はい、この問題について解説します。

1. 問題の内容

放物線 $C_1: y=2x^2$ 上の点 $A(1,2)$ における接線 $l$ について、その傾きと方程式を求めます。次に、放物線 $C_2: y = -x^2 + ax - b$ が接線 $l$ と点 $A$ で接する条件から $a$ と $b$ の値を求めます。最後に、$l$ と $C_2$ および2直線 $x=t, x=2t+1$ で囲まれた2つの図形の面積の和 $S(t)$ を求め、$S(t)$ が最小となる $t$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(ア) 放物線 $C_1: y = 2x^2$ を微分すると、$y' = 4x$ となります。点 $A(1,2)$ における接線 $l$ の傾きは $y'(1) = 4$ なので、ア = 4 です。接線 $l$ の方程式は、$y - 2 = 4(x - 1)$ より $y = 4x - 2$ なので、イ = 2 です。

(ウ、エ) 放物線 $C_2: y = -x^2 + ax - b$ を微分すると、$y' = -2x + a$ となります。点 $A(1,2)$ における接線 $l$ の傾きが4であることから、$-2(1) + a = 4$ より $a = 6$ なので、ウ = 6 です。また、点 $A(1,2)$ が $C_2$ 上にあるので、$2 = -(1)^2 + a(1) - b$ より $2 = -1 + 6 - b$ となり、$b = 3$ なので、エ = 3 です。

以下、$a = 6, b = 3$ とします。よって、$C_2: y = -x^2 + 6x - 3$ です。

(オ、カ、キ、ク) $l$ の方程式は $y = 4x - 2$ です。$C_2: y = -x^2 + 6x - 3$ との交点を求めます。

$-x^2 + 6x - 3 = 4x - 2$ より、$x^2 - 2x + 1 = 0$ となり、$(x-1)^2 = 0$ です。したがって、$x = 1$ で接しています。

$S(t) = \int_t^{2t+1} ((4x-2) - (-x^2 + 6x - 3))dx = \int_t^{2t+1} (x^2 - 2x + 1) dx$

$= [\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x]_t^{2t+1} = \frac{1}{3}(2t+1)^3 - (2t+1)^2 + (2t+1) - (\frac{1}{3}t^3 - t^2 + t)$

$= \frac{1}{3}(8t^3 + 12t^2 + 6t + 1) - (4t^2 + 4t + 1) + 2t + 1 - \frac{1}{3}t^3 + t^2 - t$

$= (\frac{8}{3} - \frac{1}{3})t^3 + (4-4+1)t^2 + (2-4+2-1)t + (\frac{1}{3} - 1 + 1) = \frac{7}{3}t^3 + t^2 - t + \frac{1}{3}$

よって、オ = 7, カ = 3, キ = 1, ク = 3 です。

(ケ、コ、サ) $S'(t) = \frac{d}{dt} (\frac{7}{3}t^3 + t^2 - t + \frac{1}{3}) = 7t^2 + 2t - 1$

よって、ケ = 7, コ = 2, サ = 1 です。

(シス、セ、ソ、タ) $S(t)$ の値が最小となる $t$ の値を $t_1$ とすると、$S'(t_1) = 0$ です。

$7t_1^2 + 2t_1 - 1 = 0$ を解くと、$t_1 = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(7)(-1)}}{2(7)} = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{14} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{2}}{14} = \frac{-1 \pm 2\sqrt{2}}{7}$ です。

$0 < t < 1$ より、$t_1 = \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{7}$ なので、シス = -1, セ = 2, ソ = 2, タ = 7 です。

3. 最終的な答え

ア = 4

イ = 2

ウ = 6

エ = 3

オ = 7

カ = 3

キ = 1

ク = 3

ケ = 7

コ = 2

サ = 1

シス = -1

セ = 2

ソ = 2

タ = 7