$a>0$ とする。関数 $y = ae^{\frac{x}{a}}$ と $y = ae^{-\frac{x}{a}}$ のグラフと、$y$ 軸に平行な直線との交点をそれぞれ $P, Q$ とするとき、次の問いに答えよ。 (1) 線分 $PQ$ の中点 $M$ の軌跡を求めよ。 (2) $x_0>0$ とする。$x$ 座標が $0 \leq x \leq x_0$ の範囲内にある点 $M$ の軌跡の長さを求めよ。

1. 問題の内容

$a>0$ とする。関数 $y = ae^{\frac{x}{a}}$ と $y = ae^{-\frac{x}{a}}$ のグラフと、$y$ 軸に平行な直線との交点をそれぞれ $P, Q$ とするとき、次の問いに答えよ。

(1) 線分 $PQ$ の中点 $M$ の軌跡を求めよ。

(2) $x_0>0$ とする。$x$ 座標が $0 \leq x \leq x_0$ の範囲内にある点 $M$ の軌跡の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y$ 軸に平行な直線の方程式を $x = t$ とおく。ただし、$t$ は実数である。このとき、$P$ の座標は $(t, ae^{\frac{t}{a}})$、$Q$ の座標は $(t, ae^{-\frac{t}{a}})$ となる。$PQ$ の中点 $M$ の座標を $(x, y)$ とおくと、

$$x = \frac{t+t}{2} = t$$

$$y = \frac{ae^{\frac{t}{a}} + ae^{-\frac{t}{a}}}{2} = a \cdot \frac{e^{\frac{t}{a}} + e^{-\frac{t}{a}}}{2} = a \cosh\left(\frac{t}{a}\right)$$

となる。したがって、$x = t$ なので、

$$y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right)$$

これが $M$ の軌跡である。

(2) $M$ の軌跡の長さを求める。$y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right)$ より、

$$\frac{dy}{dx} = a \cdot \frac{1}{a} \sinh\left(\frac{x}{a}\right) = \sinh\left(\frac{x}{a}\right)$$

したがって、求める軌跡の長さ $L$ は、

$$L = \int_0^{x_0} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx = \int_0^{x_0} \sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{x}{a}\right)} dx$$

ここで、$1 + \sinh^2 u = \cosh^2 u$ なので、

$$L = \int_0^{x_0} \sqrt{\cosh^2\left(\frac{x}{a}\right)} dx = \int_0^{x_0} \cosh\left(\frac{x}{a}\right) dx$$

$$\int \cosh(kx) dx = \frac{1}{k} \sinh(kx) + C$$

より、

$$L = \left[ a \sinh\left(\frac{x}{a}\right) \right]_0^{x_0} = a \sinh\left(\frac{x_0}{a}\right) - a \sinh\left(\frac{0}{a}\right) = a \sinh\left(\frac{x_0}{a}\right) - a \cdot 0 = a \sinh\left(\frac{x_0}{a}\right)$$

となる。

3. 最終的な答え

(1) $y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right)$

(2) $a \sinh\left(\frac{x_0}{a}\right)$