問題が複数あるようなので、一つずつ解いていきます。

問題が複数あるようなので、一つずつ解いていきます。

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7. 問題の内容**

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x^2}}{x}$を計算します。

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8. 解き方の手順**

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$を利用します。

$\frac{\sin{x^2}}{x} = \frac{\sin{x^2}}{x^2} \cdot x$と変形します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x^2}}{x^2} = 1$ であり、$\lim_{x \to 0} x = 0$ であるため、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x^2}}{x} = 1 \cdot 0 = 0$となります。

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9. 最終的な答え**

0

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8. 問題の内容**

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{x}}{\sin{x}}$を計算します。

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1

0. 解き方の手順**

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{x}}{\sin{x}}$を計算するために、分子と分母に$1 + \cos{x}$をかけます。

$\frac{1 - \cos{x}}{\sin{x}} = \frac{(1 - \cos{x})(1 + \cos{x})}{\sin{x}(1 + \cos{x})} = \frac{1 - \cos^2{x}}{\sin{x}(1 + \cos{x})} = \frac{\sin^2{x}}{\sin{x}(1 + \cos{x})} = \frac{\sin{x}}{1 + \cos{x}}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{1 + \cos{x}} = \frac{\sin{0}}{1 + \cos{0}} = \frac{0}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$

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1

1. 最終的な答え**

0

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9. 問題の内容**

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2{x}}{1 - \cos{x}}$を計算します。

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1

2. 解き方の手順**

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2{x}}{1 - \cos{x}}$を計算するために、$\sin^2{x} = 1 - \cos^2{x}$を利用します。

$\frac{\sin^2{x}}{1 - \cos{x}} = \frac{1 - \cos^2{x}}{1 - \cos{x}} = \frac{(1 - \cos{x})(1 + \cos{x})}{1 - \cos{x}} = 1 + \cos{x}$

$\lim_{x \to 0} (1 + \cos{x}) = 1 + \cos{0} = 1 + 1 = 2$

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1

3. 最終的な答え**

2

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1

0. 問題の内容**

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x}{\tan{x}}$を計算します。

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4. 解き方の手順**

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x}{\tan{x}}$を計算します。

$x = \frac{\pi}{2} - t$と置換すると、$x \to \frac{\pi}{2}$のとき、$t \to 0$となります。

$\frac{x}{\tan{x}} = \frac{\frac{\pi}{2} - t}{\tan{(\frac{\pi}{2} - t)}} = \frac{\frac{\pi}{2} - t}{\cot{t}} = (\frac{\pi}{2} - t)\tan{t}$

$\lim_{t \to 0} (\frac{\pi}{2} - t)\tan{t} = \lim_{t \to 0} (\frac{\pi}{2} - t) \cdot \lim_{t \to 0} \tan{t} = \frac{\pi}{2} \cdot 0 = 0$

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1

5. 最終的な答え**

0

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1

1. 問題の内容**

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2{4x}}{x^2}$を計算します。

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1

6. 解き方の手順**

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$を利用します。

$\frac{\sin^2{4x}}{x^2} = \frac{\sin{4x}}{x} \cdot \frac{\sin{4x}}{x} = \frac{\sin{4x}}{4x} \cdot 4 \cdot \frac{\sin{4x}}{4x} \cdot 4 = 16 \cdot \frac{\sin{4x}}{4x} \cdot \frac{\sin{4x}}{4x}$

$\lim_{x \to 0} 16 \cdot \frac{\sin{4x}}{4x} \cdot \frac{\sin{4x}}{4x} = 16 \cdot 1 \cdot 1 = 16$

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1

7. 最終的な答え**

16

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1

2. 問題の内容**

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin{x} - 1}{1 - \cos{x}}$を計算します。

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1

8. 解き方の手順**

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin{x} - 1}{1 - \cos{x}}$を計算するために、分子と分母に$\sin{x} + 1$をかけます。

$\frac{\sin{x} - 1}{1 - \cos{x}} = \frac{(\sin{x} - 1)(\sin{x} + 1)}{(1 - \cos{x})(\sin{x} + 1)} = \frac{\sin^2{x} - 1}{(1 - \cos{x})(\sin{x} + 1)} = \frac{-\cos^2{x}}{(1 - \cos{x})(\sin{x} + 1)}$

次に、分子と分母に$1 + \cos x$をかけます。

$\frac{-\cos^2 x}{(1 - \cos x)(\sin x + 1)} = \frac{-\cos^2 x (1 + \cos x)}{(1 - \cos^2 x)(\sin x + 1)} = \frac{-\cos^2 x (1 + \cos x)}{\sin^2 x (\sin x + 1)}$

ロピタルの定理を使う場合：

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin{x} - 1}{1 - \cos{x}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos{x}}{\sin{x}} = \frac{\cos{\frac{\pi}{2}}}{\sin{\frac{\pi}{2}}} = \frac{0}{1} = 0$

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9. 最終的な答え**

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