$f(x) = \sin x$ の $x = \frac{\pi}{3}$ における2次の有限テーラー展開を求める。

1. 問題の内容

$f(x) = \sin x$ の $x = \frac{\pi}{3}$ における2次の有限テーラー展開を求める。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ の $x=a$ における $n$ 次のテーラー展開は以下のように与えられる。

$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)$

ここで、$R_n(x)$ は剰余項である。今回は2次の有限テーラー展開なので、剰余項は考えない。

まず、$f(x) = \sin x$ の導関数を求める。

$f'(x) = \cos x$

$f''(x) = -\sin x$

次に、$x = \frac{\pi}{3}$ における $f(x)$, $f'(x)$, $f''(x)$ の値を計算する。

$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$

$f''\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

これらの値をテーラー展開の式に代入する。

$f(x) \approx f\left(\frac{\pi}{3}\right) + f'\left(\frac{\pi}{3}\right)\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + \frac{f''\left(\frac{\pi}{3}\right)}{2!}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2$

$\sin x \approx \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - \frac{\sqrt{3}}{4}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2$

3. 最終的な答え

$\sin x \approx \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - \frac{\sqrt{3}}{4}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)^2$