$x = \tan t$、$y = \sin t$のとき、$t = \frac{\pi}{6}$における$\frac{dy}{dx}$と$\frac{d^2y}{dx^2}$の値を求め、それぞれ$\frac{dy}{dx}(\frac{\pi}{6}) = \frac{A\sqrt{3}}{8}$、$\frac{d^2y}{dx^2}(\frac{\pi}{6}) = \frac{B}{32}$となる$A$と$B$の値を求める。

1. 問題の内容

$x = \tan t$、$y = \sin t$のとき、$t = \frac{\pi}{6}$における$\frac{dy}{dx}$と$\frac{d^2y}{dx^2}$の値を求め、それぞれ$\frac{dy}{dx}(\frac{\pi}{6}) = \frac{A\sqrt{3}}{8}$、$\frac{d^2y}{dx^2}(\frac{\pi}{6}) = \frac{B}{32}$となる$A$と$B$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{dy}{dx}$を求める。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$である。

$y = \sin t$より、$\frac{dy}{dt} = \cos t$。

$x = \tan t$より、$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{\cos^2 t}$。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t}{1/\cos^2 t} = \cos^3 t$。

$t = \frac{\pi}{6}$のとき、$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$\frac{dy}{dx} (\frac{\pi}{6}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^3 = \frac{3\sqrt{3}}{8}$。

$\frac{dy}{dx}(\frac{\pi}{6}) = \frac{A\sqrt{3}}{8}$と比較すると、$A = 3$。

次に、$\frac{d^2y}{dx^2}$を求める。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}}$。

$\frac{dy}{dx} = \cos^3 t$より、$\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx}) = 3\cos^2 t (-\sin t) = -3\cos^2 t \sin t$。

$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{\cos^2 t}$なので、

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-3\cos^2 t \sin t}{1/\cos^2 t} = -3\cos^4 t \sin t$。

$t = \frac{\pi}{6}$のとき、$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$なので、

$\frac{d^2y}{dx^2} (\frac{\pi}{6}) = -3 (\frac{\sqrt{3}}{2})^4 (\frac{1}{2}) = -3 (\frac{9}{16}) (\frac{1}{2}) = -\frac{27}{32}$。

$\frac{d^2y}{dx^2}(\frac{\pi}{6}) = \frac{B}{32}$と比較すると、$B = -27$。

3. 最終的な答え

$A = 3$

$B = -27$