$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k}}$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k}}$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k}} = \frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k+2}+\sqrt{k})(\sqrt{k+2}-\sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{(k+2)-k} = \frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{2}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+2}-\sqrt{k})$

和を書き下すと、

$\frac{1}{2} [ (\sqrt{3}-\sqrt{1}) + (\sqrt{4}-\sqrt{2}) + (\sqrt{5}-\sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}) + (\sqrt{n+2}-\sqrt{n}) ]$

これは望遠鏡和（telescoping sum）になっているので、多くの項が打ち消し合います。残るのは、

$\frac{1}{2} [-\sqrt{1} - \sqrt{2} + \sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} ] = \frac{1}{2} [ \sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} - 1 - \sqrt{2} ]$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}-1-\sqrt{2}}{2}$