関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ の極値を求める問題です。ここで、logは自然対数（底がeの対数）を表すと仮定します。

1. 問題の内容

関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ の極値を求める問題です。ここで、logは自然対数（底がeの対数）を表すと仮定します。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $x$ で微分して、$y'$ を求めます。

$y' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot (1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}})$

次に、$y'$ を整理します。

$y' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot (\frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}}) = \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{(x + \sqrt{x^2 + 1})\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

極値を求めるためには、$y' = 0$ となる $x$ を探す必要があります。しかし、$y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ は常に正であり、0になることはありません。したがって、極値は存在しません。

しかしながら、定義域を考慮する必要があります。

$x + \sqrt{x^2 + 1} > 0$ である必要があります。これは、$x$がどんな実数であっても成り立ちます。なぜなら、$\sqrt{x^2 + 1} > |x| \geq -x$ なので、$x + \sqrt{x^2 + 1} > 0$ が常に成り立ちます。

$y'$ が常に正であることから、$y$ は単調増加関数であることがわかります。したがって、極値は存在しません。

3. 最終的な答え

極値は存在しない。