はい、承知いたしました。画像にある数学の問題について、一つずつ解いていきます。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題について、一つずつ解いていきます。

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1. 問題の内容**

与えられた複数の関数について、それぞれ微分を求めます。関数は以下の通りです。

(1) $y = \frac{x}{(1+x^3)^2}$

(2) $y = \frac{1}{x\sqrt[4]{x}}$

(3) $y = x\sqrt{x^2+2}$

(4) $y = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

(5) $y = \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}$

(6) $y = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}$

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2. 解き方の手順**

**(1) $y = \frac{x}{(1+x^3)^2}$**

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

ここで、$u = x$、$v = (1+x^3)^2$ とします。

$u' = 1$

$v' = 2(1+x^3)(3x^2) = 6x^2(1+x^3)$

よって、

$y' = \frac{1 \cdot (1+x^3)^2 - x \cdot 6x^2(1+x^3)}{(1+x^3)^4} = \frac{(1+x^3)[(1+x^3) - 6x^3]}{(1+x^3)^4} = \frac{1 - 5x^3}{(1+x^3)^3}$

**(2) $y = \frac{1}{x\sqrt[4]{x}}$**

まず、式を整理します。$y = \frac{1}{x^{1 + \frac{1}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{5}{4}}} = x^{-\frac{5}{4}}$

$y' = -\frac{5}{4}x^{-\frac{5}{4}-1} = -\frac{5}{4}x^{-\frac{9}{4}} = -\frac{5}{4x^{\frac{9}{4}}} = -\frac{5}{4x^2\sqrt[4]{x}}$

**(3) $y = x\sqrt{x^2+2}$**

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x$、$v = \sqrt{x^2+2}$

$u' = 1$

$v' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+2}}$

よって、$y' = 1 \cdot \sqrt{x^2+2} + x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+2}} = \sqrt{x^2+2} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+2}} = \frac{x^2+2+x^2}{\sqrt{x^2+2}} = \frac{2x^2+2}{\sqrt{x^2+2}} = \frac{2(x^2+1)}{\sqrt{x^2+2}}$

**(4) $y = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$**

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x$、$v = \sqrt{1-x^2}$

$u' = 1$

$v' = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

よって、$y' = \frac{1 \cdot \sqrt{1-x^2} - x \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{\sqrt{1-x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{1-x^2 + x^2}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}$

**(5) $y = \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}$**

$y = \sqrt{1+x^{-\frac{1}{2}}}$

$y' = \frac{1}{2\sqrt{1+x^{-\frac{1}{2}}}} \cdot (-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}) = \frac{-1}{4x^{\frac{3}{2}}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}} = \frac{-1}{4x\sqrt{x}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}} = \frac{-1}{4x\sqrt{x+\sqrt{x}}}$

**(6) $y = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}$**

$y = (x+\sqrt{1+x^2})^{-1}$

$y' = -1(x+\sqrt{1+x^2})^{-2} \cdot (1 + \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x) = -\frac{1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{(x+\sqrt{1+x^2})^2} = -\frac{\frac{\sqrt{1+x^2} + x}{\sqrt{1+x^2}}}{(x+\sqrt{1+x^2})^2} = -\frac{1}{\sqrt{1+x^2}(x+\sqrt{1+x^2})}$

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3. 最終的な答え**

(1) $y' = \frac{1 - 5x^3}{(1+x^3)^3}$

(2) $y' = -\frac{5}{4x^2\sqrt[4]{x}}$

(3) $y' = \frac{2(x^2+1)}{\sqrt{x^2+2}}$

(4) $y' = \frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}$

(5) $y' = \frac{-1}{4x\sqrt{x+\sqrt{x}}}$

(6) $y' = -\frac{1}{\sqrt{1+x^2}(x+\sqrt{1+x^2})}$