関数 $f(x) = \arctan x$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ の4次導関数 $f^{(4)}(x)$ を求めます。 (2) $x = 0$ での値 $f(0), f'(0), f''(0), f^{(3)}(0), f^{(4)}(0)$ をすべて求めます。 (3) $f(x)$ のマクローリン展開の4次までの多項式部分を求めます。 (4) (3)の結果に、$x = 1$ を代入して得られる値を4倍して、円周率$\pi$の近似値を既約分数の形で求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \arctan x$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f(x)$ の4次導関数 $f^{(4)}(x)$ を求めます。

(2) $x = 0$ での値 $f(0), f'(0), f''(0), f^{(3)}(0), f^{(4)}(0)$ をすべて求めます。

(3) $f(x)$ のマクローリン展開の4次までの多項式部分を求めます。

(4) (3)の結果に、$x = 1$ を代入して得られる値を4倍して、円周率$\pi$の近似値を既約分数の形で求めます。

2. 解き方の手順

(1) 4次導関数を求める

まず、$f(x) = \arctan x$ の導関数を順に求めます。

$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

$f''(x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$

$f^{(3)}(x) = \frac{-2(1+x^2)^2 - (-2x) \cdot 2(1+x^2)(2x)}{(1+x^2)^4} = \frac{-2(1+x^2) + 8x^2}{(1+x^2)^3} = \frac{6x^2 - 2}{(1+x^2)^3}$

$f^{(4)}(x) = \frac{12x(1+x^2)^3 - (6x^2 - 2) \cdot 3(1+x^2)^2 (2x)}{(1+x^2)^6} = \frac{12x(1+x^2) - 6x(6x^2 - 2)}{(1+x^2)^4} = \frac{12x + 12x^3 - 36x^3 + 12x}{(1+x^2)^4} = \frac{-24x^3 + 24x}{(1+x^2)^4} = \frac{24x(1 - x^2)}{(1+x^2)^4}$

(2) $x = 0$ での値を求める

$f(0) = \arctan 0 = 0$

$f'(0) = \frac{1}{1+0^2} = 1$

$f''(0) = \frac{-2(0)}{(1+0^2)^2} = 0$

$f^{(3)}(0) = \frac{6(0)^2 - 2}{(1+0^2)^3} = -2$

$f^{(4)}(0) = \frac{24(0)(1-0^2)}{(1+0^2)^4} = 0$

(3) マクローリン展開の4次までの多項式部分を求める

マクローリン展開は次の形で与えられます。

$f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \dots$

求めた値を代入すると、

$f(x) \approx 0 + \frac{1}{1}x + \frac{0}{2}x^2 + \frac{-2}{6}x^3 + \frac{0}{24}x^4 = x - \frac{1}{3}x^3$

(4) 円周率の近似値を求める

(3)で求めた多項式に $x = 1$ を代入します。

$1 - \frac{1}{3}(1)^3 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

これを4倍すると、

$4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $f^{(4)}(x) = \frac{24x(1 - x^2)}{(1+x^2)^4}$

(2) $f(0) = 0, f'(0) = 1, f''(0) = 0, f^{(3)}(0) = -2, f^{(4)}(0) = 0$

(3) $x - \frac{1}{3}x^3$

(4) $\frac{8}{3}$