関数 $f(x) = \arctan x$ について、次の問いに答えます。 (1) $f(x)$ の4次導関数 $f^{(4)}(x)$ を求めます。 (2) $x=0$ での値 $f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$, $f^{(3)}(0)$, $f^{(4)}(0)$ をすべて求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \arctan x$ について、次の問いに答えます。

(1) $f(x)$ の4次導関数 $f^{(4)}(x)$ を求めます。

(2) $x=0$ での値 $f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$, $f^{(3)}(0)$, $f^{(4)}(0)$ をすべて求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \arctan x$ の導関数を順に計算します。

まず、$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$.

次に、$f''(x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$.

さらに、$f'''(x) = \frac{-2(1+x^2)^2 - (-2x) \cdot 2(1+x^2)(2x)}{(1+x^2)^4} = \frac{-2(1+x^2) + 8x^2}{(1+x^2)^3} = \frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}$.

最後に、$f^{(4)}(x) = \frac{12x(1+x^2)^3 - (6x^2-2) \cdot 3(1+x^2)^2(2x)}{(1+x^2)^6} = \frac{12x(1+x^2) - 6x(6x^2-2)}{(1+x^2)^4} = \frac{12x+12x^3 - 36x^3+12x}{(1+x^2)^4} = \frac{24x-24x^3}{(1+x^2)^4} = \frac{24x(1-x^2)}{(1+x^2)^4}$.

(2) $x=0$ における値を計算します。

$f(0) = \arctan 0 = 0$.

$f'(0) = \frac{1}{1+0^2} = 1$.

$f''(0) = \frac{-2(0)}{(1+0^2)^2} = 0$.

$f'''(0) = \frac{6(0)^2-2}{(1+0^2)^3} = -2$.

$f^{(4)}(0) = \frac{24(0)(1-0^2)}{(1+0^2)^4} = 0$.

3. 最終的な答え

(1) $f^{(4)}(x) = \frac{24x(1-x^2)}{(1+x^2)^4}$.

(2) $f(0) = 0$, $f'(0) = 1$, $f''(0) = 0$, $f^{(3)}(0) = -2$, $f^{(4)}(0) = 0$.