関数 $y = x^{2x}$ ($x>0$) を微分する問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{2x}$ ($x>0$) を微分する問題です。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln (x^{2x})$

対数の性質より、

$\ln y = 2x \ln x$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は $y$ の関数なので、合成関数の微分法を使います。右辺は積の微分法を使います。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 \ln x + 2x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 \ln x + 2$

$\frac{dy}{dx} = y (2 \ln x + 2)$

$y = x^{2x}$ を代入して、

$\frac{dy}{dx} = x^{2x} (2 \ln x + 2)$

さらに整理して、

$\frac{dy}{dx} = 2x^{2x} (\ln x + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 2x^{2x}(\ln x + 1)$