与えられた4つの関数をそれぞれ微分します。 (1) $y = x^{\sin x}$ ($x>0$) (2) $y = x^{e^x}$ ($x>0$) (3) $y = x^{\log x}$ ($x>0$) (4) $y = (\log x)^x$ ($x>1$)

1. 問題の内容

与えられた4つの関数をそれぞれ微分します。

(1) $y = x^{\sin x}$ ($x>0$)

(2) $y = x^{e^x}$ ($x>0$)

(3) $y = x^{\log x}$ ($x>0$)

(4) $y = (\log x)^x$ ($x>1$)

2. 解き方の手順

これらの関数はすべて$y = f(x)^{g(x)}$の形をしているので、両辺の自然対数をとり、対数微分法を用いるのが一般的です。

(1) $y = x^{\sin x}$

両辺の自然対数をとると、

$\log y = \sin x \log x$

両辺を$x$で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \log x + \frac{\sin x}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right)$

$y = x^{\sin x}$を代入して、

$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right)$

(2) $y = x^{e^x}$

両辺の自然対数をとると、

$\log y = e^x \log x$

両辺を$x$で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^x \log x + \frac{e^x}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( e^x \log x + \frac{e^x}{x} \right)$

$y = x^{e^x}$を代入して、

$\frac{dy}{dx} = x^{e^x} \left( e^x \log x + \frac{e^x}{x} \right)$

$\frac{dy}{dx} = x^{e^x} e^x \left( \log x + \frac{1}{x} \right)$

(3) $y = x^{\log x}$

両辺の自然対数をとると、

$\log y = \log x \log x = (\log x)^2$

両辺を$x$で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 \log x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{2 \log x}{x} \right)$

$y = x^{\log x}$を代入して、

$\frac{dy}{dx} = x^{\log x} \left( \frac{2 \log x}{x} \right)$

(4) $y = (\log x)^x$

両辺の自然対数をとると、

$\log y = x \log (\log x)$

両辺を$x$で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log (\log x) + x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log (\log x) + \frac{1}{\log x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \log (\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$

$y = (\log x)^x$を代入して、

$\frac{dy}{dx} = (\log x)^x \left( \log (\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right)$

(2) $\frac{dy}{dx} = x^{e^x} e^x \left( \log x + \frac{1}{x} \right)$

(3) $\frac{dy}{dx} = x^{\log x} \left( \frac{2 \log x}{x} \right)$

(4) $\frac{dy}{dx} = (\log x)^x \left( \log (\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$