$t > 0$ に対して、定積分 $\int_0^1 |2x^2 - tx| dx$ の最小値を求め、そのときの $t$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$t > 0$ に対して、定積分 $\int_0^1 |2x^2 - tx| dx$ の最小値を求め、そのときの $t$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$2x^2 - tx = x(2x-t)$ と変形できます。

$x(2x-t) = 0$ となるのは、$x=0$ または $x = \frac{t}{2}$ のときです。

(i) $\frac{t}{2} \ge 1$ つまり $t \ge 2$ のとき

$0 \le x \le 1$ で $2x^2 - tx \le 0$ なので、

$\int_0^1 |2x^2 - tx| dx = \int_0^1 (tx - 2x^2) dx = [\frac{t}{2}x^2 - \frac{2}{3}x^3]_0^1 = \frac{t}{2} - \frac{2}{3}$

これは $t$ に関して増加関数であり、$t=2$ のとき最小値 $\frac{2}{2} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ をとります。

(ii) $0 < \frac{t}{2} < 1$ つまり $0 < t < 2$ のとき

$\int_0^1 |2x^2 - tx| dx = \int_0^{\frac{t}{2}} (tx - 2x^2) dx + \int_{\frac{t}{2}}^1 (2x^2 - tx) dx$

$= [\frac{t}{2}x^2 - \frac{2}{3}x^3]_0^{\frac{t}{2}} + [\frac{2}{3}x^3 - \frac{t}{2}x^2]_{\frac{t}{2}}^1$

$= \frac{t}{2} (\frac{t}{2})^2 - \frac{2}{3}(\frac{t}{2})^3 + (\frac{2}{3} - \frac{t}{2}) - (\frac{2}{3} (\frac{t}{2})^3 - \frac{t}{2} (\frac{t}{2})^2)$

$= \frac{t^3}{8} - \frac{t^3}{12} + \frac{2}{3} - \frac{t}{2} - \frac{t^3}{12} + \frac{t^3}{8}$

$= \frac{t^3}{4} - \frac{t}{2} + \frac{2}{3}$

$f(t) = \frac{t^3}{4} - \frac{t}{2} + \frac{2}{3}$ とおくと、

$f'(t) = \frac{3t^2}{4} - \frac{1}{2} = 0$ より、

$3t^2 = 2$, $t^2 = \frac{2}{3}$

$t = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ （$t>0$ より）

$f''(t) = \frac{3}{2}t$ であり、$t = \frac{\sqrt{6}}{3}$ のとき、$f''(t) = \frac{3}{2}\frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{2} > 0$ なので、$t = \frac{\sqrt{6}}{3}$ で極小かつ最小になります。

$f(\frac{\sqrt{6}}{3}) = \frac{(\frac{\sqrt{6}}{3})^3}{4} - \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{2} + \frac{2}{3} = \frac{6\sqrt{6}}{27 \cdot 4} - \frac{\sqrt{6}}{6} + \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{6}}{18} - \frac{3\sqrt{6}}{18} + \frac{12}{18} = \frac{12-2\sqrt{6}}{18} = \frac{6-\sqrt{6}}{9}$

$\frac{1}{3} = \frac{3}{9}$ と $\frac{6-\sqrt{6}}{9}$ を比較すると、$\frac{6-\sqrt{6}}{9} < \frac{6-\sqrt{4}}{9} = \frac{4}{9} < \frac{1}{3}$ なので、$t = \frac{\sqrt{6}}{3}$ で最小値 $\frac{6-\sqrt{6}}{9}$ をとります。

3. 最終的な答え

最小値：$\frac{6-\sqrt{6}}{9}$

そのときの $t$ の値：$\sqrt{\frac{6}{9}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$

したがって、

$\frac{6-\sqrt{6}}{9}$　および　$t = \sqrt{\frac{6}{9}}$