微分可能な関数 $f(x)$ と $g(x)$ があり、$f(0) = 2$, $f'(0) = 6$, $g(0) = 5$, $g'(0) = -3$ を満たします。 関数 $H_1(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ と $H_2(x) = \frac{g(x)}{f(x) + g(x)}$ が与えられたとき、$H_1'(0)$ と $H_2'(0)$ をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

微分可能な関数 $f(x)$ と $g(x)$ があり、$f(0) = 2$, $f'(0) = 6$, $g(0) = 5$, $g'(0) = -3$ を満たします。

関数 $H_1(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ と $H_2(x) = \frac{g(x)}{f(x) + g(x)}$ が与えられたとき、$H_1'(0)$ と $H_2'(0)$ をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

まず、$H_1'(x)$ と $H_2'(x)$ を計算します。

$H_1(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ なので、商の微分公式より

$H_1'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

$H_2(x) = \frac{g(x)}{f(x) + g(x)}$ なので、商の微分公式より

$H_2'(x) = \frac{g'(x)(f(x) + g(x)) - g(x)(f'(x) + g'(x))}{(f(x) + g(x))^2}$

次に、$H_1'(0)$ と $H_2'(0)$ を計算します。

$H_1'(0) = \frac{f'(0)g(0) - f(0)g'(0)}{g(0)^2} = \frac{6 \cdot 5 - 2 \cdot (-3)}{5^2} = \frac{30 + 6}{25} = \frac{36}{25}$

$H_2'(0) = \frac{g'(0)(f(0) + g(0)) - g(0)(f'(0) + g'(0))}{(f(0) + g(0))^2} = \frac{(-3)(2 + 5) - 5(6 + (-3))}{(2 + 5)^2} = \frac{(-3)(7) - 5(3)}{7^2} = \frac{-21 - 15}{49} = \frac{-36}{49}$

3. 最終的な答え

$H_1'(0) = \frac{36}{25}$

$H_2'(0) = -\frac{36}{49}$