与えられた関数を微分する問題です。ただし、$a$ は定数とします。ここでは、4つの関数それぞれの微分を求めます。 (1) $y = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4}$ (2) $y = \frac{(1+x)^3(1-2x)}{(1-x)(1+2x)^3}$ (3) $y = \sqrt[3]{(x-2)(x^2-2)}$ (4) $y = \frac{x}{\sqrt{(a^2+x^2)^3}}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。ただし、$a$ は定数とします。ここでは、4つの関数それぞれの微分を求めます。

(1) $y = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4}$

(2) $y = \frac{(1+x)^3(1-2x)}{(1-x)(1+2x)^3}$

(3) $y = \sqrt[3]{(x-2)(x^2-2)}$

(4) $y = \frac{x}{\sqrt{(a^2+x^2)^3}}$

2. 解き方の手順

(1) 対数微分法を使う。両辺の自然対数をとると

$\ln y = 2 \ln (x+1) - 3 \ln (x+2) - 4 \ln (x+3)$

両辺を $x$ で微分すると

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+3}$

したがって、

$y' = y \left( \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+3} \right)$

$y' = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4} \left( \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+3} \right)$

(2) 対数微分法を使う。両辺の自然対数をとると

$\ln y = 3 \ln (1+x) + \ln (1-2x) - \ln (1-x) - 3 \ln (1+2x)$

両辺を $x$ で微分すると

$\frac{y'}{y} = \frac{3}{1+x} - \frac{2}{1-2x} + \frac{1}{1-x} - \frac{6}{1+2x}$

したがって、

$y' = y \left( \frac{3}{1+x} - \frac{2}{1-2x} + \frac{1}{1-x} - \frac{6}{1+2x} \right)$

$y' = \frac{(1+x)^3(1-2x)}{(1-x)(1+2x)^3} \left( \frac{3}{1+x} - \frac{2}{1-2x} + \frac{1}{1-x} - \frac{6}{1+2x} \right)$

(3) まず $y = ((x-2)(x^2-2))^{\frac{1}{3}}$ と変形する。

$y' = \frac{1}{3}((x-2)(x^2-2))^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{d}{dx}((x-2)(x^2-2))$

$\frac{d}{dx}((x-2)(x^2-2)) = (1)(x^2-2) + (x-2)(2x) = x^2 - 2 + 2x^2 - 4x = 3x^2 - 4x - 2$

$y' = \frac{1}{3} ((x-2)(x^2-2))^{-\frac{2}{3}} (3x^2 - 4x - 2)$

$y' = \frac{3x^2 - 4x - 2}{3 \sqrt[3]{((x-2)(x^2-2))^2}}$

(4) $y = \frac{x}{(a^2+x^2)^{3/2}}$

$y' = \frac{(1)(a^2+x^2)^{3/2} - x \cdot (3/2)(a^2+x^2)^{1/2}(2x)}{(a^2+x^2)^3}$

$y' = \frac{(a^2+x^2)^{3/2} - 3x^2(a^2+x^2)^{1/2}}{(a^2+x^2)^3}$

$y' = \frac{(a^2+x^2)^{1/2} (a^2+x^2 - 3x^2)}{(a^2+x^2)^3}$

$y' = \frac{a^2 - 2x^2}{(a^2+x^2)^{5/2}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4} \left( \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+3} \right)$

(2) $y' = \frac{(1+x)^3(1-2x)}{(1-x)(1+2x)^3} \left( \frac{3}{1+x} - \frac{2}{1-2x} + \frac{1}{1-x} - \frac{6}{1+2x} \right)$

(3) $y' = \frac{3x^2 - 4x - 2}{3 \sqrt[3]{((x-2)(x^2-2))^2}}$

(4) $y' = \frac{a^2 - 2x^2}{(a^2+x^2)^{5/2}}$