(13) $\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos{\frac{x}{2}}}{x^2}$ と (14) $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2 x}{(1-\cos x)^2}$ の極限を求める問題です。

1. 問題の内容

(13) $\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos{\frac{x}{2}}}{x^2}$ と (14) $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2 x}{(1-\cos x)^2}$ の極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

(13) について：

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$ より、$\cos \frac{x}{2} = 1 - \frac{(\frac{x}{2})^2}{2!} + \frac{(\frac{x}{2})^4}{4!} - \dots = 1 - \frac{x^2}{8} + \frac{x^4}{384} - \dots$

したがって、

$1 - \cos \frac{x}{2} = \frac{x^2}{8} - \frac{x^4}{384} + \dots$

$\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos{\frac{x}{2}}}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{x^2}{8} - \frac{x^4}{384} + \dots}{x^2} = \lim_{x\to 0} (\frac{1}{8} - \frac{x^2}{384} + \dots) = \frac{1}{8}$

(14) について：

$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2 x}{(1-\cos x)^2}$

$1-\cos^2 x = (1-\cos x)(1+\cos x)$ であるから、

$\lim_{x\to 0} \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{(1-\cos x)^2} = \lim_{x\to 0} \frac{1+\cos x}{1-\cos x}$

ここで、$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$ であるから、

$\lim_{x\to 0} \frac{1+\cos x}{1-\cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{1 + (1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4))}{1 - (1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4))} = \lim_{x\to 0} \frac{2 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)}{\frac{x^2}{2} - O(x^4)} = \lim_{x\to 0} \frac{2}{\frac{x^2}{2}} = \infty$ となる。

または、

$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2 x}{(1-\cos x)^2} = \lim_{x\to 0} \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{(1-\cos x)^2} = \lim_{x\to 0} \frac{1+\cos x}{1-\cos x}$

ここで、$1 - \cos x = 2\sin^2(\frac{x}{2})$ であるから

$\lim_{x\to 0} \frac{1+\cos x}{2\sin^2(\frac{x}{2})} = \lim_{x\to 0} \frac{2}{2(\frac{x}{2})^2} = \lim_{x\to 0} \frac{4}{x^2} = \infty$

この極限は存在しない。

3. 最終的な答え

(13) $\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos{\frac{x}{2}}}{x^2} = \frac{1}{8}$

(14) $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2 x}{(1-\cos x)^2} = \infty$ （極限は存在しない）