$f(x) = \log(1-x)$ の $x=0$ における3次までのテイラー展開を求める問題です。

## 問題1

1. 問題の内容

$f(x) = \log(1-x)$ の $x=0$ における3次までのテイラー展開を求める問題です。

2. 解き方の手順

テイラー展開は以下の式で表されます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ...$

まず、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f(x) = \log(1-x)$

$f'(x) = \frac{-1}{1-x} = -(1-x)^{-1}$

$f''(x) = -(1-x)^{-2} = -\frac{1}{(1-x)^2}$

$f'''(x) = -2(1-x)^{-3} = -\frac{2}{(1-x)^3}$

次に、これらの導関数に $x=0$ を代入します。

$f(0) = \log(1-0) = \log(1) = 0$

$f'(0) = -\frac{1}{1-0} = -1$

$f''(0) = -\frac{1}{(1-0)^2} = -1$

$f'''(0) = -\frac{2}{(1-0)^3} = -2$

これらの値をテイラー展開の式に代入します。3次までの項を求めます。

$f(x) \approx 0 + (-1)x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{-2}{3!}x^3$

$f(x) \approx -x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3$

3. 最終的な答え

$f(x) = -x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3$

## 問題2

1. 問題の内容

$f(x) = \cos(2x)$ の $x=0$ における $2n$ 次までのテイラー展開を求める問題です。

2. 解き方の手順

$f(x) = \cos(2x)$ の導関数を求め、 $x=0$ を代入することでテイラー展開の係数を求めます。一般に、$\cos(x)$ のマクローリン展開は以下のようになります。

$\cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots$

ここで $x$ を $2x$ に置き換えます。

$\cos(2x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}(2x)^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n}}{(2n)!}x^{2n}$

$2n$ 次までの有限テイラー展開を求めるので、上記の級数の $n=0$ から $n$ までの和を計算します。

$\cos(2x) \approx \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k 2^{2k}}{(2k)!}x^{2k} = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \dots + \frac{(-1)^n (2x)^{2n}}{(2n)!}$

$\cos(2x) \approx 1 - \frac{4x^2}{2!} + \frac{16x^4}{4!} - \dots + \frac{(-1)^n 4^n x^{2n}}{(2n)!}$

3. 最終的な答え

$\cos(2x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k 4^k}{(2k)!}x^{2k}$