関数 $y = x + \sqrt{4-x^2}$ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = x + \sqrt{4-x^2}$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、定義域を求めます。根号の中身が非負である必要があるので、

$4-x^2 \ge 0$

$x^2 \le 4$

$-2 \le x \le 2$

次に、微分を計算します。

$\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{4-x^2}} (-2x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = 0$ となる $x$ を求めます。

$1 - \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} = 0$

$1 = \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$

$\sqrt{4-x^2} = x$

$4-x^2 = x^2$

$2x^2 = 4$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

$x = \sqrt{2}$ は $\sqrt{4-x^2} = x$ を満たしますが、$x = -\sqrt{2}$ は満たしません。したがって、$x = \sqrt{2}$ が極値を与える候補です。

$x = \sqrt{2}$ のとき、$y = \sqrt{2} + \sqrt{4-2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

次に、定義域の端点での値を計算します。

$x = -2$ のとき、$y = -2 + \sqrt{4-(-2)^2} = -2 + 0 = -2$

$x = 2$ のとき、$y = 2 + \sqrt{4-(2)^2} = 2 + 0 = 2$

したがって、

$x = \sqrt{2}$ のとき、$y = 2\sqrt{2}$

$x = -2$ のとき、$y = -2$

$x = 2$ のとき、$y = 2$

$2\sqrt{2} \approx 2(1.414) = 2.828$ なので、最大値は $2\sqrt{2}$、最小値は $-2$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $2\sqrt{2}$ ($x = \sqrt{2}$のとき)

最小値: $-2$ ($x = -2$のとき)