関数 $y = \frac{2x-5}{x-2}$ のグラフを描き、定義域、値域、および漸近線を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x-5}{x-2}$ のグラフを描き、定義域、値域、および漸近線を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を変形して、グラフを描きやすい形にします。

$y = \frac{2x-5}{x-2} = \frac{2(x-2) - 1}{x-2} = 2 - \frac{1}{x-2}$

これで、関数は $y = -\frac{1}{x}$ を $x$ 軸方向に 2, $y$ 軸方向に 2 だけ平行移動したものであることがわかります。

* **定義域**: 分母が 0 にならないように、$x-2 \neq 0$ より、$x \neq 2$。したがって、定義域は $x \neq 2$ です。

* **値域**: $y$ は $y=2$ を除いてすべての実数値を取ることができます。したがって、値域は $y \neq 2$ です。

* **漸近線**:

* $x = 2$ のとき、$y$ は発散するので、$x = 2$ は垂直漸近線です。

* $x$ が非常に大きいとき、$y$ は 2 に近づくので、$y = 2$ は水平漸近線です。

グラフは、双曲線を描き、漸近線 $x=2$ と $y=2$ を持つことになります。

3. 最終的な答え

* 定義域: $x \neq 2$

* 値域: $y \neq 2$

* 漸近線: $x = 2$, $y = 2$

* グラフ: 略（$y=-\frac{1}{x}$ のグラフを x軸方向に2, y軸方向に2 平行移動したグラフ）