関数 $f(x) = 2x(C_1 \cos 3x + C_2 \sin 3x)$ が与えられています。この関数に対して、$f'(0) = -8$ と $f''(0) = -58$ が成り立つように、定数 $C_1$ と $C_2$ の値を決定してください。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x(C_1 \cos 3x + C_2 \sin 3x)$ が与えられています。この関数に対して、$f'(0) = -8$ と $f''(0) = -58$ が成り立つように、定数 $C_1$ と $C_2$ の値を決定してください。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ を微分して $f'(x)$ と $f''(x)$ を求めます。

$f(x) = 2x(C_1 \cos 3x + C_2 \sin 3x)$

積の微分法を利用して $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 2(C_1 \cos 3x + C_2 \sin 3x) + 2x(-3C_1 \sin 3x + 3C_2 \cos 3x)$

$f'(x) = 2C_1 \cos 3x + 2C_2 \sin 3x - 6xC_1 \sin 3x + 6xC_2 \cos 3x$

次に、$f'(0) = -8$ という条件を使います。

$f'(0) = 2C_1 \cos(0) + 2C_2 \sin(0) - 6(0)C_1 \sin(0) + 6(0)C_2 \cos(0) = 2C_1$

$2C_1 = -8$

$C_1 = -4$

次に、$f'(x)$ をもう一度微分して $f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = -6C_1 \sin 3x + 6C_2 \cos 3x - 6C_1 \sin 3x - 18xC_1 \cos 3x + 6C_2 \cos 3x - 18xC_2 \sin 3x$

$f''(x) = -12C_1 \sin 3x + 12C_2 \cos 3x - 18xC_1 \cos 3x - 18xC_2 \sin 3x$

次に、$f''(0) = -58$ という条件を使います。

$f''(0) = -12C_1 \sin(0) + 12C_2 \cos(0) - 18(0)C_1 \cos(0) - 18(0)C_2 \sin(0) = 12C_2$

$12C_2 = -58$

$C_2 = -\frac{58}{12} = -\frac{29}{6}$

したがって、$C_1 = -4$ であり、$C_2 = -\frac{29}{6}$ となります。

3. 最終的な答え

$C_1 = -4$

$C_2 = -\frac{29}{6}$