$\lim_{x\to +0} \frac{1}{\log x}$ を計算します。

はい、承知いたしました。画像に含まれる問題のうち、以下の3つの問題を解きます。

- 9.(1) $\lim_{x\to +0} \frac{1}{\log x}$

- 9.(7) $\lim_{x\to \infty} \{\log(3x^2-1) - \log(x^2+1)\}$

- 9.(9) $\lim_{x\to 0} \log(\cos x)$

### 9.(1) の解答

1. 問題の内容

$\lim_{x\to +0} \frac{1}{\log x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$x$ が $0$ に正の方向から近づくとき、$\log x$ は負の無限大に発散します。すなわち、

$\lim_{x\to +0} \log x = -\infty$

したがって、

$\lim_{x\to +0} \frac{1}{\log x} = 0$

3. 最終的な答え

$\lim_{x\to +0} \frac{1}{\log x} = 0$

### 9.(7) の解答

1. 問題の内容

$\lim_{x\to \infty} \{\log(3x^2-1) - \log(x^2+1)\}$ を計算します。

2. 解き方の手順

対数の性質を利用して、式を整理します。

$\log(3x^2-1) - \log(x^2+1) = \log \frac{3x^2-1}{x^2+1}$

したがって、

$\lim_{x\to \infty} \{\log(3x^2-1) - \log(x^2+1)\} = \lim_{x\to \infty} \log \frac{3x^2-1}{x^2+1}$

ここで、$\frac{3x^2-1}{x^2+1}$ の極限を計算します。

$\lim_{x\to \infty} \frac{3x^2-1}{x^2+1} = \lim_{x\to \infty} \frac{3 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{3}{1} = 3$

したがって、

$\lim_{x\to \infty} \log \frac{3x^2-1}{x^2+1} = \log 3$

3. 最終的な答え

$\lim_{x\to \infty} \{\log(3x^2-1) - \log(x^2+1)\} = \log 3$

### 9.(9) の解答

1. 問題の内容

$\lim_{x\to 0} \log(\cos x)$ を計算します。

2. 解き方の手順

$x$ が $0$ に近づくとき、$\cos x$ は $1$ に近づきます。すなわち、

$\lim_{x\to 0} \cos x = 1$

したがって、

$\lim_{x\to 0} \log(\cos x) = \log 1 = 0$

3. 最終的な答え

$\lim_{x\to 0} \log(\cos x) = 0$