次の極限を計算します。 $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x - 1}$ ここで、$\log$ は自然対数を表すものとします。

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x - 1}$

ここで、$\log$ は自然対数を表すものとします。

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ の形をしているため、ロピタルの定理を使用できます。

ロピタルの定理を適用すると、次のように計算できます。

$\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx} \log x}{\frac{d}{dx} (x - 1)}$

$\log x$ の微分は $\frac{1}{x}$ であり、$x - 1$ の微分は $1$ であるため、次のようになります。

$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x}$

$x \to 1$ のとき、$\frac{1}{x} \to \frac{1}{1} = 1$ となるため、極限は $1$ となります。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x - 1} = 1$