(1) $x > 0$ のとき、以下の不等式を証明せよ。 (ア) $e^x > 1 + x$ (イ) $e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$ (ウ) $e^x > 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{k!}$ （$n$は自然数。数学的帰納法を用いる） (2) (1)を利用して、以下の極限が成り立つことを示せ。 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{e^x} = 0$ $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt[m]{x}} = 0$ $\lim_{x \to +0} x \log x = 0$ ただし、$m$は自然数である。

1. 問題の内容

(1) $x > 0$ のとき、以下の不等式を証明せよ。

(ア) $e^x > 1 + x$

(イ) $e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$

(ウ) $e^x > 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{k!}$ （$n$は自然数。数学的帰納法を用いる）

(2) (1)を利用して、以下の極限が成り立つことを示せ。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{e^x} = 0$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt[m]{x}} = 0$

$\lim_{x \to +0} x \log x = 0$

ただし、$m$は自然数である。

2. 解き方の手順

(1)

(ア)

$f(x) = e^x - (1 + x)$とおく。

$f'(x) = e^x - 1$

$x > 0$のとき、$e^x > 1$なので、$f'(x) > 0$

よって、$f(x)$は$x > 0$で単調増加。

$f(0) = e^0 - (1+0) = 1 - 1 = 0$

$x>0$において、$f(x)>0$

したがって、$e^x > 1+x$

(イ)

$g(x) = e^x - (1 + x + \frac{x^2}{2})$とおく。

$g'(x) = e^x - (1 + x)$

(ア)より、$e^x > 1+x$なので、$g'(x) > 0$

よって、$g(x)$は$x > 0$で単調増加。

$g(0) = e^0 - (1 + 0 + \frac{0^2}{2}) = 1 - 1 = 0$

$x>0$において、$g(x)>0$

したがって、$e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$

(ウ) (数学的帰納法)

$n=1$のとき：$e^x > 1 + \frac{x}{1!} = 1+x$　これは(ア)で証明済み。

$n=k$のとき、$e^x > 1 + \sum_{i=1}^{k} \frac{x^i}{i!}$が成り立つと仮定する。

$n=k+1$のとき：

$h(x) = e^x - (1 + \sum_{i=1}^{k+1} \frac{x^i}{i!})$とおく。

$h'(x) = e^x - \sum_{i=1}^{k+1} \frac{i x^{i-1}}{i!} = e^x - \sum_{i=1}^{k+1} \frac{x^{i-1}}{(i-1)!} = e^x - \sum_{i=0}^{k} \frac{x^i}{i!} = e^x - (1 + \sum_{i=1}^{k} \frac{x^i}{i!})$

$n=k$の仮定より、$e^x > 1 + \sum_{i=1}^{k} \frac{x^i}{i!}$なので、$h'(x) > 0$

よって、$h(x)$は$x > 0$で単調増加。

$h(0) = e^0 - (1 + \sum_{i=1}^{k+1} \frac{0^i}{i!}) = 1 - 1 = 0$

$x>0$において、$h(x)>0$

したがって、$e^x > 1 + \sum_{i=1}^{k+1} \frac{x^i}{i!}$

数学的帰納法より、$e^x > 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{k!}$が成り立つ。

(2)

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{e^x} = 0$

(1)より、$e^x > 1 + \sum_{k=1}^{m+1} \frac{x^k}{k!} > \frac{x^{m+1}}{(m+1)!}$

よって、$\frac{x^m}{e^x} < \frac{x^m}{\frac{x^{m+1}}{(m+1)!}} = \frac{(m+1)!}{x}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(m+1)!}{x} = 0$なので、$\lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{e^x} = 0$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt[m]{x}} = 0$

$x = e^y$とおくと、$x \to \infty$のとき、$y \to \infty$

$\frac{\log x}{\sqrt[m]{x}} = \frac{y}{e^{\frac{y}{m}}} = m \frac{\frac{y}{m}}{e^{\frac{y}{m}}}$

$z = \frac{y}{m}$とおくと、$y \to \infty$のとき、$z \to \infty$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt[m]{x}} = m \lim_{z \to \infty} \frac{z}{e^z}$

$\lim_{z \to \infty} \frac{z}{e^z} = 0$ （$\lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{e^x} = 0$で$m=1$の場合）

したがって、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt[m]{x}} = 0$

$\lim_{x \to +0} x \log x = 0$

$x = \frac{1}{y}$とおくと、$x \to +0$のとき、$y \to \infty$

$x \log x = \frac{1}{y} \log \frac{1}{y} = - \frac{\log y}{y}$

$\lim_{x \to +0} x \log x = - \lim_{y \to \infty} \frac{\log y}{y} = 0$ （$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt[m]{x}} = 0$で$m=1$の場合）

したがって、$\lim_{x \to +0} x \log x = 0$

3. 最終的な答え

(1)

(ア) $e^x > 1+x$

(イ) $e^x > 1+x+\frac{x^2}{2}$

(ウ) $e^x > 1+\sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{k!}$

(2)

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^m}{e^x} = 0$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt[m]{x}} = 0$

$\lim_{x \to +0} x \log x = 0$